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Aufgaben zu Linearen Gleichungssystemen

 

Gleichsetz-, Einsetz-, Additionsverfahren

 

1.  y = x + 5   

    y = -x - 5

 

2. x = -4y + 7    

    x = -6y + 7                        Lösung

 

3. 3y = 9x - 18      

    3y = 12x + 21

 

4. y - 2x = 3      

    y + 2x = 3                         Lösung

                        

5. 4x - 6y = 8  

    4x + 6y = -8 

                         

6. 3y - 6x = 4   

   -2y - 6x = -2                      Lösung

 

      2         3                             4          27                             1             1

7.  --- x + --- = y       8. -y = - ---- x + -----                     9. ---- x = - ---- y - 3 

      3         5                             7           7                             6             6  

 

      4         2                            8             1                            1           1 

     --- x + --- = y            -y = ---- x + 8 ----    Lösung         ---- x = ---- y + 3

      7         7                            5             5                            6           6

 

10.  x = 6y - 16   

     4y - 2x = 8                      Lösung

 

11. 5x + 0,5y = 11 

     y = 2 + 10x      

 

12.  x = 0,5y + 2                  Lösung

    0,5y + 5x = 1   

 

13. 2x = -5y + 4   

    -5y + 13 = -x  

 

14. 7x - 34 = 5y     

    4x + 5y = 43                   Lösung

 

15. 12x - 6y = 75  

    12x = -9y + 165

 

16. x + 4y = 14           

 

             1         3

    y = 6 --- - 1 --- x             Lösung

             2         4 

 

17. 1,2 + 2,4y = x       

     3y + 2x + 21 = 0   

                         

18. x - y = 2x + y       

    x = 2 - y                         Lösung

 

19. 15y - 2x = 5     

     15y + 2x = 25  

 

20. 2x - y = 2                     Lösung

    -2x - y = -2            

 

21. x + y = 127    

     x - y = 53      

 

22. 9x - 8y = 14  

     5x - 4y = 10                  Lösung

 

23. 3x + 4y =  1    

       x -   y = 12   

 

24. 2x  -   y = -5    

       x + 3y =  8                 Lösung

 

25. 6x - 5y = 1   

     9x - 7y = 8       

 

26.  2,4x - 4,5y = 1,5     

     10,5y - 3,6x = 1,5        Lösung

 

27. 10x -   9y = 12    

      25x - 12y = 51    

 

28.  x      y          5

     --- + --- = 2 ---    

      2      6         6

 

    x      y 

   --- + --- = 3                  Lösung

    3      4

 

29.  x      y  

     --- + --- = -4   

      3      6

 

   2x     5y

  ---- + ---- = -11

    3       6

 

30.  x       y 

     --- + --- = 4     

      2      2

 

   3(x + y) = 10

 

31. 10(3x + 5) = 2(16 - 3y)    

 

      6(1 - 7x) = 5(4y - 10)      Lösung

 

32. x + 2y = 6(x - 3y)      

 

                      x   

    7(x - 3y) = --- + 6     

                      4

 

33. ax + y = 2a + b   

     ax  - y = -b                      Lösung  

          

34. bx + ay = a + b    

     b²x - a²y = 0       

 

35. x + 3y = a² + 3ab + b²       

    3x -  y = a² - ab + b²        Lösung 

 

36. (a - b)x + (a + b)y = 2a     

     (a - b)x - (a + b)y = 2b     

 

37. (x - 6)(y - 3) = (x - 4)(y - 4)      

     (x - 10)(y - 1) = (x - 9)(y - 3)      Lösung

 

38.  2x + 3y - 2       2 

     --------------- = ---      

     5x - 2y + 9       3

 

     x + 4y - 1        1

   --------------- = ---       

    5x + 4y - 7       2

 

 

       2x + 1      y + 2

39. --------- - -------- = 1     

        x - 4       y - 1 

 

      3x - 1      2y + 8

     -------- - ---------- = 1        Lösung

       x - 3       y + 1

 

40.   6              4                      41.  x + 5       y + 3 

    ------- = - --------                      -------- = --------     Lösung

     x - 3         y + 2                         x - 2        y - 1

 

        2            2                              x + 2      y - 3

    ------- = ---------                       -------- = -------     

     x + 2      2y - 5                          x + 1       y - 2

 

42. 4x - 6y + 5z = 27          

     2x + 3y - 10z = -69        

    10x + 9y + 15z = 210    

 

43. 2x + y - 3z = 9        

     3x + 2y - z = 24       

     4x - 3y + 3z = 1                    Lösung

 

44. 6x + 10y - 15z = 73           

     9x - 15y + 20z = 32        

     8x + 25y - 35z = 129    

   

45. 0,4x + 0,3y - 0,2z = 4      

     0,6x - 0,5y + 0,3z = 5      

     0,3x + 0,2y + 0,5z = 22        Lösung

 

46. 4x - 7y = 4      

     5y - 3z = 26    

     2z + x  = 4      

 

47. x      y       z      73

    --- + --- + --- = -----    

     2      3       4       2

 

    x      y       z

   --- + --- + --- = 27       

    3      4       5

 

    x      y       z 

   --- + --- + --- = 18               Lösung

    5      6       7

 

Rechnen mit Determinanten

 

48. 7x - 5y = 15   

     5x - 7y = -3

 

49. 12x - 18y = 6   

     10x - 15y = 5                     Lösung

 

50.  9x + 12 y = 5

     12x + 16y = 4  

 

51. x +     y + z = 8  

   3x + 2y + z = 49

   5x -  3y + z = 0                   Lösung

 

52. 2x +   y + 5z = -21  

       x + 5y + 2z =  19 

     5x + 2y +   z =    2

 

53. 1,2x - 0,9y + 1,5z = 2,4

      0,8x - 0,5y + 2,5z = 1,8

      1,6x - 1,2y +    2z = 3,2   Lösung

 

54. 4,5 x - 3,9y + 2,7z = 3,3

     0,8x + 1,2y  - 3,6z = 2,4

     1,3x  - 1,6y + 1,8z = 5,6

 

55.     x + 2y - 2z + 3u = 23   

        3x -  2y + 4z - 2u = -12

       11x + 3y - 2z + 6u = 71

         9x + 3y - 2z + 6u = 63   Lösung

 

Rechnen mit dem Gaußschen Algorithmus

 

56. 3x - 5y + 4z - 3u = -2,5   

      2x         - 3z + 2u = -1,7

      2x + 2y        + 4u = 14,8

      5x - 2y + 3z  - 3u = 4

 

57. 4w+ 2x + 2y  - 2z - 14 = 0   

       w +   x + 4y - 4z -  10 = 0  

       w  -   x + 3y -   z  -  7 = 0   

     2w -  2x + 4y + 8z -25 = 0    Lösung

 

58.  v + w + x - y - z = 6     

      v + w + x - y + z = 4

      v - w + x + y + z = 8    

      v - w - x + y + z = 2

    -v + w - x + y - z = 10   

 

59. -2v - 2w +  x + 3y +   z = 3 

        v - 2w -  2x +  y + 3z = 4

      3v +   w - 2x - 2y +   z = 2   

       v  + 3w +  x - 2y -  2z = 1

     -2v +  w + 3x +  y -  2z = 5    Lösung

 

Schnittpunkte von Geraden

 

Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Geraden

 

60. y = x + 3          

     y = -x - 1

 

61. y = 0,5x - 3     

 

              1        4 

     y = - --- x - ---                       Lösung

              3        3

 

62. 5x + 3y = 21   

      7x + 8y = 37   

 

 

63.  2x - 2y = 6       

               y = 2x                         Lösung

 

64. 3x + 4y = 8       

 

     3 

    --- x + y = 2      

     4 

 

65. 2,6y - 1,3x = 1,3    

      0,8y - 0,4x = 2,4                  Lösung

 

Anwendungsaufgaben

 

66. Ein Hotel hat 21 Zimmer, Einzel- und Doppelzimmer.

     Das Hotel kann 30 Gäste unterbringen.

     Wie viel Einzel-(E) und Doppelzimmer (D) hat das Hotel?   

 

67. Ein Flugzeug kommt mit Rückenwind in einer Stunde auf 870 km.

     Mit Gegenwind sind es 780 km.

     Wie groß sind die Flugzeug- (F) und die Windgeschwindigkeit (W)

     in km/h?               Lösung

 

 

68. In einer Jugendherberge gibt es 2-Bett- und 4-Bett-Zimmer.

     Insgesamt sind es 20 Zimmer mit 52 Betten.

     Wie viel 2-Bett und 4-Bett-Zimmer sind es? 

 

69. Ein Kunde zahlt für das Entwickeln von 3 Filmen und für

     36 Abzüge 9,30 €.  Ein anderer zahlt für 2 Filme und 22 Abzüge 6 €.

     Wie viel kostet ein Film, wie viel ein Abzug in €?   Lösung

 

70. Die Summe zweier Zahlen ist 885. Die Differenz ist 35.

     Wie groß sind die beiden Zahlen?     

 

71. Vergrößert man die kleinere Seite eines Rechtecks um 4 cm

     und die größere um 2 cm, so verhalten sich die Seiten

     wie 4 : 5, und das neue Rechteck ist 104 cm² größer als das alte.

     Wie groß sind die Seiten des alten Rechtecks in cm?     Lösung

  

72. Vergrößert man eine Seite eines Rechtecks um 2 cm und

     verkürzt die andere um 4 cm, so entsteht ein Quadrat,

     das 10 cm² kleiner ist als das Rechteck.

     Wie groß sind die Seiten des Rechtecks in cm?

 

73. Aus zwei Sorten stellt ein Händler 400 kg einer Mischung her.

     Sorte 1 kostet 18 €/kg, Sorte 2 kostet 22 €/kg.

     Wie viel kg braucht man von jeder Sorte für die Mischung, die

     19,50 €/kg kosten soll?    Lösung

 

74. Ein Museum hat eine Tageseinnahme von 20 400 €.

     Ein Erwachsener zahlt 4 €, ein Kind 2,50 € Eintritt.

     Wie viele Erwachsene bzw. Kinder waren in dem Museum,

     bei 6 000 Besuchen.   

 

75. Busunternehmer 1 verlangt 50 €/Tag und 2 €/km.

     Busunternehmer 2 verlangt 80 €/Tag und 1,50 €/km.

     Für welche Kilometerzahl sind beide Angebote gleich teuer?   Lösung

 

76. Ein Bauer hat Hühner und Kaninchen. Die Tiere haben

     zusammen 35 Köpfe und 94 Beine.

     Wie viele Hühner und Kaninchen sind es?

 

77. Ein Händler überweist insgesamt für 2 Rechnungen 5 570 € nach

     Abzug von 2 bzw. 2,5 % Skonto.

     Bekäme er für die eine Rechnung 3 % Skonto und für die zweite 2 %,

     dann bräuchte er nur 5 561 € zu bezahlen.

     Wie hoch sind die Rechnungsbeträge?       Lösung

 

78. Mischt man 6 l Alkohol einer Sorte mit 19 l einer anderen, so ist

     die Mischung 77%ig.

     Mischt man 10 l der ersten Sorte mit 15 l der zweiten, so ist

     die Mischung 76% ig. Wie viel Prozent haben die einzelnen Sorten?

 

79. Ein Betrieb schreibt zwei Maschinen, die neu 25 000 € bzw.

     10 000 € gekostet haben, jährlich mit 6 000 € ab.

     Wenn der Betrieb die Prozentsätze für die Abschreibung vertauscht,

     kann er nur 4 500 € abschreiben. Wie hoch sind die Prozentsätze?      Lösung

 

80. Legt man ein Kapital zu 6% und 10 Monate lang an,

     bekommt man so viel Zinsen, wie für eine Anlage zu

     8% bei einer Laufzeit von 6 Monaten.

    Ist die Laufzeit für beide Anlagen ein Jahr, bekommt man

    zusammen 1 920 € Zinsen. Wie hoch sind die angelegten Beträge? 

 

81. Ein Kapital bringt in einer bestimmten Zeit bei 6% 300 € Zinsen.

     Ein 20% höheres Kapital müsste man 20 Tage weniger lang anlegen,

     um gleich hohe Zinsen zu bekommen.

     Wie hoch ist das angelegte Kapital in € und die Laufzeit in Tagen?     Lösung

 

82. Ein Zug fährt einem anderen von einer 80 km entfernten Station

     entgegen. Sie treffen sich nach 32 Minuten, wenn sie gleichzeitig

     losfahren. Fährt der eine 15 Minuten früher los als der andere, treffen

     sie sich nach 40 Minuten. Wie schnell fahren die beiden Züge in km/h?   

 

83. Ein Bauherr leiht sich von einer Bausparkasse 120 000 €, von einer

     Bank 80 000 €.  Im ersten Jahr zahlt er 11 600 € an Zinsen und tilgt

     4 000 € von jedem Darlehen. Im zweiten Jahr zahlt er darauf 11 100 €

     Zinsen. Welchen Zinssatz verlangt die Bausparkasse, welchen die Bank?   Lösung

 

84. Ein Flugzeug braucht bei Gegenwind für 280 km eine Zeit

     von 24 Minuten. Bei Rückenwind braucht es dafür

     21 Minuten. Wie hoch sind die Geschwindigkeit des Flugzeugs

     und des Windes in km/h?

 

85. Bei einem Pferderennen waren 32 Pferde am Start.

     Ins Ziel kamen 53 Köpfe und 162 Beine. Wie viel Reiter und Pferde 

     sind ausgefallen?   Lösung

 

86. Ein Junge sagt: Ich habe doppelt so viele Schwestern wie Brüder.

     Eine Schwester sagt: Ich habe genauso viele Schwestern wie Brüder.

     Wie viel Kinder sind es?

 

87. Eine Mutter war vor 8 Jahren dreimal so alt wie ihr Sohn.

     In 2 Jahren ist sie doppelt so alt. Wie alt sind Mutter und Sohn?    Lösung

 

88. Ein Junge ist viermal so alt wie seine Schwester. 3 Jahre zuvor

     war er siebenmal so alt. Wie alt sind die Geschwister?   

 

89. Ein Junge war vor 3 Jahren dreimal so alt wie sein Freund. Heute ist er

     2 Jahre jünger als sie zusammen vor 2 Jahren alt waren.

     Wie alt sind die beiden?        Lösung

 

90. Addiert man zum Vierfachen einer Zahl das Sechsfache einer zweiten,

     so erhält man 6. Subtrahiert man vom Doppelten der ersten das

     Sechsfache der zweiten, so erhält man 12. Wie lauten die Zahlen?

 

91. Die Quersumme einer zweistelligen Zahl ist 14. Vertauscht man die

     Zehner und die Einer, ist die Zahl um 18 größer. Wie heißt die Zahl?     Lösung

 

92. Die Quersumme einer zweistelligen Zahl ist 12. Die Zahl für die Zehner

     ist um 4 kleiner als die Zahl für die Einer. Wie heißt die Zahl?  

 

93. Die Quersumme einer zweistelligen Zahl ist 11. Vertauscht man Zehner

     und Einer, wird die Zahl um 45 kleiner. Wie heißt die Zahl?      Lösung

 

94. Ein Rechteck hat einen Umfang von 168 cm. Eine Seite ist 12 cm

     größer als die andere. Berechnen Sie die Rechteckfläche in cm².    

 

95. In einem gleichschenkligen Dreieck ist ein Basiswiinkel 66° kleiner

     als der Winkel an der Spitze. Wie groß sind die beiden Winkel?     Lösung

 

96. Verkürzt man die längere Seite eines Rechtecks um 6 cm und

     die kürzere um 3 cm, so entsteht ein Quadrat, das 126 cm² kleiner

     ist als das Rechteck. Wie lang sind die Seiten des Rechtecks in cm? 

  

97. Ein Rechteck hat einen Umfang von 42 cm. Verkürzt man die eine

     Seite um 4 cm und verlängert die andere um 4 cm, so entsteht ein

     4 cm² kleineres Rechteck. Wie groß sind die ursprünglichen

     Rechteckseiten in cm?       Lösung

 

98. Ein Apotheker will 10 l 60%igen Alkohol aus 50%igem und 75%igem

     Alkohol herstellen. Wie viel Liter braucht er von dem 50%igen, wie

     viel von dem 75%igen?

 

99. Ein 3 l Gefäß soll mit Wasser und einer 30%igen Säure so gefüllt

     werden, dass 5%ige Säure entsteht. Wie viel Liter Wasser, wie viel

     Liter Säure braucht man?   Lösung

 

100. Ein Goldschmied mischt Silber vom Feingehalt 600 und

       vom Feingehalt 800 zu 100 g Silber mit dem Feingehalt 750.

       Wie viel g braucht er vom Feingehalt 600, wie viel vom

       Feingehalt 800? 

 

101. Gold mit einem Feingehalt 800 wird aus 1,5 kg einer Sorte und

       3 kg einer anderen Sorte hergestellt. Mischt man die umgekehrten

       Mengen, entsteht Gold vom Feingehalt 750. Welchen Feingehalt

       haben die einzelnen Sorten?     Lösung

 

102. Addiert man zwei Zahlen, so bekommt man 238. Die Zahlen

       verhalten sich wie 3 zu 11. Wie heißen die beiden Zahlen?

 

103. Addiert man zu einer Zahl 3, so verhält sie sich zu einer zweiten

       wie 5 zu 7. Addiert man zu der zweiten 9, so verhält sie sich zur ersten

       wie 2 zu 1. Wie heißen die beiden Zahlen?     Lösung

 

104. Ein Bruch hat den Wert 8/9, wenn Zähler wie Nenner um jeweils 1

       vergrößert werden. Vermindert man Zähler wie Nenner um 1, hat er

       den Wert 7/8. Wie groß sind Zähler und Nenner?   

 

105. Zwei Röhren füllen zusammen einen 1000 m³ Tank in 20 Minuten.

       Läuft die eine nur 10 Minuten, dann muss die andere 35 Minuten

       laufen, damit der Tank voll ist. Wie viel Kubikmeter liefern die einzelnen

       Röhren pro Minute?      Lösung

 

106. 219 soll so in die Summe zweier Zahlen zerlegt werden, dass der

       6.te Teil der einen Zahl um 19 kleiner ist als der dritte Teil der anderen.

       Welche beiden Zahlen sind es?

 

107. Wie lang sind die Seiten eines Dreiecks, wenn die Summen von je

       zwei Seiten 40 cm, 63 cm und 71 cm ergeben?     Lösung

 

108. Gesucht sind die Koeffizienten der Funktion f(x) = ax² + bx + c, wenn

        f(4) = 57, f(-4) = 57 und f(0) = 9. 

 

109. Gesucht sind die Koeffizienten der Funktion f(x) = ax³ + bx² + cx + d,

       wenn f(1) = 4,5, f(-1) = 0,5, f(-5) = -103,5 und f(3) = 40,5.     Lösung

 

110.

 

a) In einem Gericht aus Fleisch, Nudeln und Gemüse sind 140 g Eiweiß,

       100 g Fett und 400 g Kohlenhydrate. Je 100 g Fleisch usw. enthalten

                           

                           Fleisch          Nudeln          Gemüse

    Eiweiß               10g                10g                40g           

    Fett                   40g                                     10g   

    Kohlenhydrate    30g                70g               30g 

 

    Wie schwer ist eine Portion?

 

b) Ein Gericht soll nur aus Fleisch und Gemüse bestehen und

    100 g Fett und 400 g Eiweiß enthalten. Wie hoch ist der

    Kohlenhydratanteil in g?

 

111. Ein Händler hat auf Lager 1627 Artikel A, 1018 Artikel B

      und 508 Artikel C. Die Artikel bietet er in 3 Verpackungen mit

      unterschiedlichen Mengen an.

 

          A         B         C

Va       2         4          2

Vb       3         2          0

Vc       4         1          1

 

Wie viele Packungen kann er herstellen, wenn er alle Artikel

anbieten will?     Lösung

 

112. Aus Einzelteilen E fertigt ein Betrieb Montageeinheiten M und

       daraus Fertigprodukte F.

 

Produktionsmatrizen:

 

         M1      M2       M3                   F1       F2        F3

E1       5        6         1           M1      1        1         1 

E2       4        2         3           M2      1        1         3

E3       3        3         8           M3      1        2         4

 

Wie viel Fertigprodukte kann der Betrieb herstellen, wenn er

1 600 Einzelteile E1, 1 300 E2 und 2 350 E3 auf Lager hat?

 

113. Ein Händler verpackt 3 Bauteile B1, B2 und B3 wie folgt:

Packung P1 enthält 4 B1 und 6 B2.

Packung P2 enthält 6 B1, 7 B2 und 3 B3.

Packung P3 enthält 4 B1, 5 B2 und 5 B3.

Wie viele Packungen sollte jemand kaufen, der 64 B1, 81 B2

und 47 B3 braucht.     Lösung

 

114. Ein Maschinenbauteil soll aus 90% Kupfer, 5% Zink und 5% Zinn bestehen.

Zur Herstellung stehen 3 Legierungen zur Verfügung.

Legierung L1 besteht aus 80% Kupfer und 20% Zink.

Legierung L2 besteht aus 95% Kupfer und 5% Zinn.

Legierung L3 besteht aus 80% Kupfer, 10% Zink und 10% Zinn.

Zu welchen Anteilen benötigt man zur Herstellung die einzelnen

Legierungen?       Lösung

 

115.

 

a) Ein Händler hat auf Lager 580 Artikel A1, 300 A2 und 440 A3. Er will sie

     in unterschiedlichen Mengen auf 3 Päckchen P1, P2 und P3 verteilen.

 

                A1         A2        A3

      P1        2          2          2 

      P2        4          2          3 

      P3        3          1          2

 

      Geht das?

 

b) Wie viele Päckchen P1 und P2 kann er erstellen, wenn er 80 P3 will?