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Aufgaben zu Pythagoras, Kathetensatz, Höhensatz

 

1. Wie lang ist die Kathete a in cm, wenn die Kathete b = 7,8 cm und die Hypotenuse c = 9,8 cm lang sind?  Lösung

Aufgabe_1

 

 

 

 

    Lösung

 

 

2. Wie lang ist die Hypotenuse c in cm, wenn die Katheten a = 7,3 cm und b = 2,1 cm lang sind? 

 

3. Eine Leiter ist 6 m lang und steht am Fußpunkt 1,3 m von einer Wand entfernt.

In welcher Höhe h in m berührt die Leiter die Wand?   Lösung       

 

4. Eine Leiter ist 5 m lang. Sie ist genauso hoch wie die Wand, an der sie steht.

Wie weit steht der Fußpunkt der Leiter in m von der Wand entfernt,

wenn die Leiter die Wand oben 1 m unter der Oberkante berührt?

 

5. Ein Rechteck ist 4 m lang und 2 m breit.

Wie lang ist seine Diagonale d in m?      Lösung

        

6. Ein gleichseitiges Dreieck hat eine Seitenlänge s von 8 cm.

Wie groß ist seine Höhe h in cm?

 

7. Berechnen Sie x in mm.  

 

Aufgabe4_a

 

 

 

                                                                             

 

Lösung

 

 

8. Berechnen Sie h in mm.  

 

Aufgabe4_b

 

 

 

                                                                      

 

 

 

9. Berechnen Sie x in mm.

 

Aufgabe5_a

 

 

                                                                               

 

 Lösung

 

 

 

 

10. Berechnen Sie x in mm.

 

Aufgabe5_b

 

 

 

 

 

                                                                     

 

 

 

11. Ein Sendemast ist 323 m hoch. 27 m unterhalb der Spitze sind zwei

Halteseile angebracht, die 215 m vom Mast entfernt verankert sind.

Zwei weitere Halteseile sind in einer Höhe von 74 m befestigt und 130 m

entfernt verankert.

Berechnen Sie die Länge der beiden Halteseile in m.       Lösung

 

12. Bei einem Wettkampf wird ein Ball so geworfen,

dass er 15 m neben der 55 m Marke auftrifft.

Wie groß war die Wurfweite w in m tatsächlich?                                                  

 

13. Bei einem Wettkampf springt ein Mädchen 0,52 m neben der Mitte

des Weitsprungbalkens schräg ab. Es wird von der Mitte des Balkens aus

eine senkrechte Weite von 4,48 m gemessen.

Wie groß war die Sprungweite w des Mädchens in m tatsächlich?   Lösung

 

14. Ein Baum ist bei einem Sturm in 4 m Höhe abgeknickt.

Seine Spitze liegt 15 m vom Stamm entfernt.

Wie hoch war der Baum in m?                                                                                         

 

15. Ein 25 m hoher Baum ist so abgeknickt,

dass seine Spitze 5 m von seinem Fuß entfernt aufliegt.

In welcher Höhe in m ist er abgeknickt?       Lösung

 

16. Berechnen Sie von der Hängebrücke die

Längen x und y der beiden Spannseile in m.

 

 

 

 

 
17. Berechnen Sie von dem Klapptisch die Strebenlänge x in cm.

 

Aufgabe9_b

 

 

 

 

 

 

   

Lösung

 

 

 

 

18. Berechnen Sie die Höhe h in cm und die Fläche A des Dreiecks in cm².

Aufgabe10_a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19. Berechnen Sie die Länge der Seite s des gleichschenkligen Trapezes in cm. 

Aufgabe10b_L

 

 

 

 

     Lösung

 

 

 

20. a) Berechnen Sie die Fläche A des Dreiecks in m². 

Aufgabe11_a    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b) Die Fläche wird gestrichen. Der Verbrauch an Farbe beträgt 1 l pro  

    5 m². Wie viel l Farbe sind nötig?

 

21. Ein gleichseitiges Dreieck hat einen Umfang von 60 cm.

Wie groß ist seine Fläche A in cm²?  Lösung

 

22. Eine Rutschbahn ist 1 240 m lang und überwindet einen Höhenunterschied von 220 m.

Berechnen Sie die horizontale Entfernung s zwischen Start und Ziel und

das Gefälle g in Prozent.

 

23. Berechnen Sie die Seite a und die Höhe h des Dachstuhls in m.  

 

Aufgabe13

 

 

 

 

 

     Lösung

 

24. Die Seite q = 4 cm des rechtwinkligen Dreiecks soll so verlängert werden,

dass sie Hypotenuse eines neuen rechtwinkligen Dreiecks wird.

Wie lang ist diese Hypotenuse c in cm?

 

Aufgabe14

 

 

 

 

 

 

 

 

25. Berechnen Sie den Abstand a zwischen A und B in cm.  

 

Aufgabe15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

       Lösung

 

 

26. Berechnen Sie die Fläche A des Dreiecks in cm² und den Umfang U in cm. 

Aufgabe16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27. In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Höhe das n-fache des

Hypotenusenabschnitts q.

Drücken Sie die Länge der Hypotenuse c durch n und q aus.     Lösung

 

28. Ein senkrecht an einer Wand stehender Stab rutscht 30 cm herunter.

Dabei entfernt sich sein Fußpunkt einen halben Meter von der Wand.

Wie lang ist der Stab in m?

 

29. Die Dreiecke ABC und DAC sollen flächengleich sein.

Wie groß müssen a und b in cm sein, wenn c = 5 cm ist und

jedes Dreieck eine Fläche A = 30 cm² hat? 

Aufgabe19

 

 

 

 

 

Lösung

 

 

30. Der Punkt B wurde von A und C aus über einen Fluss hinweg anvisiert.

D liegt auf der Strecke AB.

Berechnen Sie die Strecke AB in m. 

 

Aufgabe20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

31. Eine Lampe hängt zwischen zwei 5 m hohen und 12 m voneinander

entfernten Laternenmasten.

Wie hoch in m darf ein darunter fahrendes Fahrzeug maximal sein,

wenn die Lampe an einem 12,10 m langen Stahlseil befestigt ist?  Lösung

 

32. Berechnen Sie die Höhe h einer quadratischen (Seitenlänge 230 m)

und gleichseitigen (Seitenlänge 219 m) Pyramide und die Höhe s

einer Seitenfläche in m.

 

33. Eine Klappleiter hat eine Länge von 3 m. Sie steht am Boden

1,2 m auseinander.

Welche maximale Höhe h in m ist möglich?        Lösung

 

34. Eine Seilbahn führt von einem Berg (2 140 m) zu einem anderen

(2 260 m). Die beiden Masten der Seilbahn sind jeweils 10 m hoch.

Sie sind auf einer Karte mit dem Maßstab 1 : 10 000 5 cm auseinander.

Berechnen Sie die Länge l des gespannten Seils in m,

wenn es nicht durchhängt.

 

35. Ein Fahrzeug fährt im Gebirge 6,2 km mit einer Steigung von 5 %.

Berechnen Sie x und h in m.

Aufgabe25

 

 

    Lösung

 

 

36. Ein rechtwinkliges Dreieck hat eine Höhe von 3 cm und eine

Fläche von 12 cm².

Berechnen Sie die Länge der Hypotenuse c und der Katheten a und b in cm.

 

37. Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks stehen im Verhältnis

a : b = 3 : 4.

Wie lang sind die Katheten in cm und die Fläche A in cm²,

wenn die Hypotenuse 8 cm lang ist?  Lösung

 

38. In welchem Verhältnis stehen die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks,

das die gleiche Fläche wie ein gleichseitiges Dreieck hat, wenn die Hypotenuse 8 cm

und die Seite s des gleichseitigen Dreiecks 6 cm lang ist?

 

39. In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Hypotenusenabschnitte

p = 5 cm und q = 4 cm.

Berechnen Sie die Länge der Katheten in cm und die Fläche A in cm².    Lösung

 

40. In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Kathete a = 6 cm und

b = 8 cm lang.

Berechnen Sie den Inkreisradius ri und den Umkreisradius ru in cm.

 

41. In ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Quadrat mit der Seite x einbeschrieben.          

Drücken Sie x durch die Katheten a und b aus.

Aufgabe31

 

 

 

 

 

 

  Lösung

 

 

 

42. In ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Quadrat mit der Seite x einbeschrieben.

Drücken Sie x durch die Hypotenusenabschnitte u und v aus.

Aufgabe32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

43. Berechnen Sie die Diagonale d in einem gleichschenkligen

Trapez in cm, wenn a = 6,4 cm, c = 3,6 cm und h = 2,5 cm.

Aufgabe33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

              Lösung

 

 

44.  Berechnen Sie die Fläche A eines gleichseitigen Dreiecks in cm²,

wenn die Seite a = 5 cm.

Aufgabe34_a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

45. Berechnen Sie die Fläche A eines gleichschenkligen Dreiecks in cm²,

wenn die Grundseite c =3,2 cm und ein Schenkel s = 4,8 cm.

Aufgabe34_b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    Lösung

 

 

 

46. Berechnen Sie die Fläche A einer Raute in cm², wenn a = 3 cm und

e = 5 cm.                                      

 

47. Berechnen Sie die Fläche A eines regelmäßigen Sechsecks in cm²,

wenn die Seite a = 6 cm.   Lösung

 

48. Berechnen Sie die Seite a eines gleichseitigen Dreiecks in cm,

wenn seine Fläche A = 18 cm² beträgt.                                              

 

49. Berechnen Sie die Seite a eines regelmäßigen Sechsecks in cm,

wenn seine Fläche A = 36 cm² beträgt.  Lösung

 

50. Ein gleichschenkliges Dreieck hat einen Umfang U = 16 cm und

eine Höhe h = 4 cm.

Berechnen Sie die Länge der Seiten des Dreiecks in cm.

 

51. Berechnen Sie a in cm, wenn r = 3 cm und s = 4,8 cm.    Lösung

 

52. Berechnen Sie s in cm, wenn r = 4 cm und a = 2 cm.  

 

53. Berechnen Sie r in cm, wenn s = 6 cm und a = 2,5 cm.

 

Aufgabe37

 

 

 

 

 

    Lösung

 

 

 

 

54. Einem Würfel mit der Seitenlänge a = 4 cm ist eine Pyramide

aufgesetzt mit der Seitenlänge k = 3 cm.

a) Berechnen Sie die Höhe h der Pyramide in cm.          

b) Wie weit in cm ist die linke untere Ecke des Würfels von der

Spitze der Pyramide entfernt?

 

55. Eine Pyramide hat als Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck.

Die Spitze der Pyramide liegt über dem Schwerpunkt des gleichseitigen Dreiecks.

Berechnen Sie die Höhe h der Pyramide in cm, wenn eine Grundseite

a = 9 cm, und die Seitenlänge k der Pyramide 14 cm ist.        Lösung

                                            

56. Eine Pyramide hat als Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck.

Die Spitze der Pyramide liegt über dem Schwerpunkt des gleichseitigen Dreiecks.

Berechnen Sie die Höhe h eines Seitendreiecks in cm, wenn die Grundseite

a = 10 cm und die Seitenlänge k der Pyramide 13 cm ist.

 

57. Ein Satteldach ist 9 m breit und 5 m hoch.

Wie lang sind die Sparren in m, wenn sie an der Dachtraufe 30 cm überstehen?

Aufgabe41_a

 

 

 

      Lösung

 

 

58. Ein Satteldach ist 8 m breit und hat 6,20 m lange Sparren, die an der

Dachtraufe 20 cm überstehen.

Wie hoch ist das Dach in m?

 

59. Berechnen sie die Länge der Strecken x und y in m. 

Aufgabe42

 

 

 

 

 

 

 

  Lösung

 

 

 

 

60. Ein Beobachter sieht aus 150 m Entfernung und unter einem Erhebungswinkel

von 30° den Lichtfleck, den ein senkrecht nach oben gerichteter Scheinwerfer an

der Wolkenuntergrenze erzeugt.

Wie hoch stehen die Wolken in m?

 

61. Auf einer Karte, Maßstab 1 : 25 000, ist eine Zahnradbahnstrecke

13,3 cm lang. Sie überwindet auf dieser Strecke einen Höhenunterschied

von 475 m.

Berechnen Sie die Länge l der Bahnstrecke in m.              Lösung

 

62. Einem gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreieck ist ein

gleichseitiges Dreieck einbeschrieben.

Drücken Sie b durch a aus.                                                                                                 

 

Aufgabe45

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

63. Einem gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreieck ist ein gleichseitiges

Dreieck einbeschrieben.

Drücken Sie b durch a aus.             

Aufgabe46

                                                                                       

 

 

 

 

 

 

Lösung

 

 

64. Von einem rechtwinkligen Dreieck sind die Hypotenusenabschnitte

q = 4 cm und p = 5 cm bekannt.

Berechnen Sie die Länge der Katheten a und b in cm und die Fläche A in cm².

 

65. Von einem rechtwinkligen Dreieck sind die Höhe h = 5 cm und der

Hypotenusenabschnitt q = 3 cm gegeben.

Berechnen Sie die Länge der Seiten a, b und c in cm und die Fläche A in cm².      Lösung

 

66. Berechnen Sie den Inkreisradius ri und den Ankreisradius ra eines

rechtwinkligen Dreiecks in cm, wenn die Katheten a = 8 cm und b = 6 cm.

 

67. Drücken Sie r2 durch r1 aus.     

Aufgabe50

 

 

 

 

 

 

 

  Lösung

 

 

 

68. Drücken Sie h1, h2 und r2 durch r1 aus.

Aufgabe51 

 

69. Drücken Sie r2, r3 und r4 durch r1 aus.

Aufgabe52Lösung

     

70. Drücken Sie r2 und r3 durch r1 aus.

Aufgabe53

 

 

71. Berechnen Sie die Höhe h des dargestellten Gefäßes in dm und

das Volumen in dm³, wenn g1 = 6 dm, g2 = 8 dm, a = 5 dm und

b = 4 dm betragen.  

Aufgabe54  Lösung

 

 

72. Mit der dargestellten Lehre lässt sich überprüfen,

ob ein Spiralbohrer richtig nachgeschliffen ist.

Berechnen Sie die Höhe h in mm, wenn alle Maße in mm

angegeben sind. 

Aufgabe55  

 

73. Ein Damm hat den dargestellten Querschnitt.

Berechnen Sie die Länge l der Böschung in m. 

Aufgabe56_L   Lösung

    

 

74. Berechnen Sie die Fläche A des einbeschriebenen Quadrates in cm².  

Aufgabe57 

75. Das regelmäßige Sechseck hat eine Fläche von 120 cm².

Aufgabe58

Wie lang ist eine Seite s in cm?   Lösung

 

76. Berechnen Sie die Länge der Seite s in cm.

Aufgabe59

 

77. Berechnen Sie von dem gleichschenkligen Trapez den Umfang U in cm.

Aufgabe60Lösung

 

 

78. Berechnen Sie die Länge der Raumdiagonalen d in cm. 

Aufgabe61 

 

 

79. Wie tief dürfte das 2 m hohe und mit 25 cm Tiefe gelieferte Regal

höchstens sein, wenn es wie skizziert durch die Tür passen soll?

Aufgabe62Lösung

 

80. Ein Fluss ist 180 m breit und hat eine Strömungsgeschwindigkeit

vF = 0,8 m/s.

Um ihn zu überqueren braucht ein Schwimmer 5 Minuten.

a) Um wie viel m wird der Schwimmer dabei seitlich abgetrieben?     

b) Wie viel m hat der Schwimmer bei der Überquerung zurückgelegt?

 

81. Das Dreieck CDE hat eine Fläche von 2 cm². Der Punkt E halbiert

die Strecke AB. Die Strecke DE ist 1 cm lang.

Berechnen sie die Längen der Hypotenuse c, der beiden Katheten und b

und der Hypotenusenabschnitte q und p.

Aufgabe64  Lösung

 

82. Berechnen Sie den Umfang U des farbigen Dreiecks in cm.

Aufgabe65

83. Berechnen Sie die Länge der Strecke x in mm. Alle Maße in mm.

Aufgabe66   Lösung

 

84. Berechnen Sie die Größe der farbigen Fläche A in mm². 

Aufgabe67    

85. Berechnen Sie die farbige Trapezfläche A in mm².

 

Aufgabe68  Lösung

 

86. Berechnen Sie die Größe der farbigen Fläche A in mm².  

Aufgabe69

87. Berechnen Sie die Länge der Strecke x in mm. 

 

Aufgabe70 Lösung