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Aufgaben zu quadratischen Funktionen

 

Ergänzen Sie die Wertetabellen für die Graphen der Funktionen, und bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes S:

 

1. y = f(x) = x²       x  -2     -1     0     1     2

 

                              y           1     0     1    

  

2. y = -x²                x  -2      -1     0      1     2

 

                              y           -1     0     -1   

 

3. y = 2x²          x  -2     -1     0     1     2

 

                         y           2      0     2    

 

4. y = -2x²         x  -2     -1     0      1     2

 

                        y           -1     0     -1   

 

5. y = 0,5x²        x  -4     -2     0       2

 

                          y           2      0     

 

6. y = -0,5x²      x  -4     -2     0      2

 

                         y          -2     0        

 

Welche Koordinaten haben der Scheitelpunkt S und die Nullstellen N der folgenden Funktionen?

 

7. y = x² + 1,5          Lösung        

 

8. y = x² - 1,5               

 

9. y = 2x² + 1          Lösung     

 

10. y = -2x² - 1               

 

11. y = 0,2x² - 2      Lösung        

 

12. y = -0,2x² + 2            

 

Wie groß ist c, wenn eine Parabel der Form y = x² + c

 

13. durch den Punkt (0|1) geht?     Lösung

 

14. durch den Punkt (2|0) geht? 

 

15. Liegt der Punkt (1|-3,5) auf dem Graphen der Funktion

 

y = x² - 4,5?

 

16. Liegt der Punkt der Punkt (-1|-5,5) auf dem Graphen der Funktion

 

y = x² - 4,5?

 

In welchen Punkten schneiden sich

 

17. die Parabel y = x² + 1 und die Gerade y = x + 3?

 

18. die Parabel y = x² - 5 und die Gerade y = -x + 1?     Lösung

 

19. Welchen Wert muss x in der Funktion y = x² annehmen, um für

y das 9-fache von 5,76 zu erhalten?

 

20. Wie groß ist a, wenn eine Parabel der Form y = ax² durch den

Punkt (1|4) geht?     Lösung

 

21. Wie groß ist a, wenn eine Parabel der Form y = ax² durch den

Punkt (-2|8) geht? 

 

22. Wie groß ist a, wenn eine Parabel der Form y = ax² durch den

Punkt (3|-9) geht?      Lösung

 

23. Eine Parabel hat ihren Scheitelpunkt in P(0|-2) und geht durch Q(4|6).

Wie lautet ihre Funktionsgleichung?

 

24. Eine Parabel der Form y = ax² geht durch den Punkt (0|0).

Liegen die Punkte P(-3|2) und Q(6|8) auf dieser Parabel?      Lösung

 

Welche Koordinaten haben der Scheitelpunkt S und die Nullstellen N der folgenden Funktionen?

 

25. y = x² + 2x              

 

26. y = x² - 3x         Lösung     

 

27. y = 2x² - 4x           

 

28. y = -0,5x² + 3x     Lösung

 

29. y = (x - 9)²           

 

30. y = (x + 2)²       Lösung      

 

In welchen Punkten schneiden sich

 

31. die Parabel y = x² + 2x und die Gerade y = x + 1?

     

32. die Parabel y = 2x² - 3x und die Gerade y = -x + 2?     Lösung

 

33. Die Funktion y = (x - d)² nimmt für x = -1 und x = 9 den gleichen

Funktionswert an. Für welches x ist der Funktionswert am kleinsten?

                               

34. Welche Funktion y = (x - d)² hat ihren Scheitelpunkt bei (-2|0)?   Lösung

 

35. Die Funktion y = x² wird um 5 Einheiten nach links verschoben.

Wie lautet die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion?

 

36. Die Funktion y = x² wird um 2 Einheiten nach rechts verschoben. Wie

lautet die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion?      Lösung

 

Welche Koordinaten haben der Scheitelpunkt S und die Nullstellen N der folgenden Funktionen?

 

37. y = (x - 6)² + 1       

 

38. y = (x - 4)² - 2         Lösung

 

39. y = x² + 10x + 1      

 

40. y = x² - 12x + 4       Lösung  

 

41. y = x² - 6x - 10     

 

42. y = x² + 9x - 1        Lösung

 

Eine quadratische Funktion der Form y = x² + bx + c nimmt

 

43. an der Stelle x1 = 5 den kleinsten Funktionswert y1 = 8 an.

Wie groß ist der Funktionswert an der Stelle x = 6?

 

44. an der Stelle x1 = -6 den kleinsten Funktionswert y1 = 1 an.

Wie groß ist der Funktionswert an der Stelle x = 0?    Lösung

 

Bestimmen Sie die quadratische Funktion der Form y = x² + bx + c, die

 

45. durch die Punkte P1(2|4) und P2(-2|0) geht.

 

46. durch die Punkte P1(1|3) und P2(0|2) geht.       Lösung

 

47. durch die Punkte P1(-3|0) und P2(2|0) geht.

 

48. durch die Punkte P1(5|-5) und P2(2|0) geht.     Lösung

 

In welchen Punkten schneiden sich

 

49. die Parabel y = x² + 8x + 3 und die Parabel y = x² -2x + 1?

 

50. die Parabel y = x² + 7x + 1 und die Parabel y = x² + 1?    Lösung

 

Bestimmen Sie die Koordinaten des Extremwertes für

 

51. y = x² - x + 1    

 

52. y = -2x² + 4x     Lösung

 

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Parabel

 

53. deren Scheitelpunkt in (0|2) liegt und die durch den Punkt (3|6) geht.    

 

54. deren Scheitelpunkt in (1|-2) liegt und die durch den Punkt (2|6) geht.     Lösung

 

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Parabel der Form

y = ax² + b,

 

55. die durch die Punkte P1(-3|2) und P2(1|-6) geht.    

 

56. die durch die Punkte P1(2|-1) und P2(6|-17) geht.     Lösung

 

Wie lauten die Funktionsgleichungen der dargestellten verschobenen Normalparabeln?

 

57.   

 

Aufgabe29a

 

58. 

 

Aufgabe29b   Lösung

 

 

 

59. 

 

Aufgabe29c

60. Ermitteln Sie aus der Wertetabelle die zu einer quadratischen Funktion gehörige Funktionsgleichung:

 

  x    -5     -4     -3     -2     -1     0    

                                                       

  y     4      1       0      1       4     9        Lösung

 

61. Eine Parabel hat die Funktionsgleichung y = x² + 6x. Bestimmen Sie ihre Scheitelpunktkoordinaten?

Bestimmen Sie ihre Nullstellen.

Die Parabel wird um 5 Einheiten nach oben und um 5 nach rechts verschoben. Wie lautet die Gleichung der verschobenen Parabel?

Die verschobene Parabel wird an der x-Achse gespiegelt. Wie

lautet die Gleichung der gespiegelten Parabel?

 

62. Bestimmen Sie den Scheitelpunkt der Parabel y = x² - 2x - 25  

Wie viel Einheiten über dem Scheitelpunkt liegt eine 20 Einheiten lange Parallele zur x-Achse?

Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte, die einen Abstand von

10 Einheiten zur x-Achse haben.      Lösung

 

Welche Koordinaten haben der Scheitelpunkt S und die Nullstellen N der Funktion

 

63. y = 2x² + 4x + 6?

 

64. y = -x² + 2x - 4?       Lösung

 

65. y = -0,8x² + 0,2x + 4?

                                                                         

             3

66. y = ---- x² + 9x + 6?     Lösung

             4

 

67. y = -0,5x² + x + 8?

 

 

             1

68. y = ---- x² + 7x + 6?      Lösung

             7

 

             2          2          1

69. y = --- x² - ---  x + ---?

             3          3          2 

 

70. An welchen Stellen x schneiden sich die beiden Parabeln

y = 2x² - 3 und y = 2x² + 2x + 1?       Lösung

 

71. An welchen Stellen x schneiden sich die beiden Parabeln

y = -4x² + 8x - 10  und y = -4x² + 3x?

 

Wie groß ist a bei einer Funktion der Form y = a(x - b)² + c,

wenn sie

 

72. den Scheitelpunkt bei (1|4) hat und durch den Punkt (3|0) geht?     Lösung

 

73. den Scheitelpunkt bei (-2|1) hat und durch den Punkt (-1|-1) geht?

  

Wie groß sind a, b und c bei einer Funktion der Form

y = ax² + bx + c, wenn ihr Graph

 

74. durch die Punkte P1(0|1), P2(1|3) und P3(-1|3) geht?     Lösung

 

75. durch die Punkte P1(1|2), P2(0|4) und P3(-1|2) geht?

 

Wie lautet die Funktionsgleichung einer Parabel der Form

y = ax² + bx + c, wenn ihr Graph

 

76. durch die Punkte P1(1|17), P2(-4|82) und P3(2|22) geht?     Lösung

 

77. durch die Punkte P1(1|4), P2(-1|8) und P3(3|8) geht?

 

78. durch die Punkte P1(2|6), P2(-3|-4) und P3(1|0) geht?         Lösung

 

79. durch die Punkte P1(1,5|-2,75), P2(3,2|-8,36) und P3(-2,1|28,21) geht?

 

80. An welchen Stellen x schneiden sich die Parabel y = x² - 7x + 20

und die Gerade y = 5x - 7?

 

81. An welchen Stellen x schneiden sich die Parabel y = x² + 18x + 68

und die Gerade y = 40x - 142?      Lösung

 

82. An welchen Stellen x schneiden sich die Parabel y = x² - 11x + 53

und die Gerade y = 3x + 4?

 

83. An welchen Stellen x schneiden sich die Parabel y = 4x² - 28x + 55

und die Gerade y = 2,4x - 2,76?      Lösung

 

Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes S und der Nullstellen

einer Parabel der Form y = ax² + bx + c, wenn ihr Graph

 

84. durch die Punkte P₁(1|0), P₂(-1|0) und P₃(2|1) geht?      Lösung

 

85. durch die Punkte P₁(0|-2), P₂(-1|1) und P₃(2|6) geht?

 

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der dargestellten Parabeln:

 

86. y =     

 

Aufgabe43    Lösung

 

87. y =

 

Aufgabe43a

 

 

88. y =

 

Aufgabe43b    Lösung

 

89. y =

 

Aufgabe44

 

90. y =

 

Aufgabe44a 

 

91. y =

 

Aufgabe44b       Lösung

 

 

92. y =

 

Aufgabe45

93. y =

 

Aufgabe45a     Lösung

 

94. y =

 

Aufgabe45b

 

In welchen Punkten schneiden sich die beiden Parabeln?

 

95. y = -3x² + 5 und y = x² + 1        Lösung

 

96. y = -5x² - 20x - 23 und y = 0,75x² + 3x   

 

97. y = -3,5x² - 14x - 9 und y = 0,5x² + 2x + 3   Lösung

 

98. Eine Parabel hat den Scheitelpunkt S(2|4) und schneidet die x-Achse an der Stelle 6.

An welcher Stelle schneidet sie die x-Achse noch?

 

99. Der Scheitelpunkt einer Parabel liegt oberhalb der x-Achse und bildet mit den Punkten (4|0)

und (8|0) ein rechtwinkliges Dreieck. Berechnen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes.     Lösung

 

100. Eine Parabel geht durch den Punkt (1|1), ist um den Faktor -3 gestreckt, und ihre Symmetrieachse geht durch x = -1.

Wo liegt ihr Scheitelpunkt?

 

101. Der Graph einer Parabel geht durch die Punkte

 

x      -4     -3     -2     -1     0      1      2    

y     18       8      2      0     2      8     18       Lösung

 

Wie lautet ihre Funktionsgleichung?

 

102. Wie lautet die Funktionsgleichung einer Normalparabel, die um

4 Einheiten nach unten verschoben wird?

 

103. Wie lautet die Funktionsgleichung einer Normalparabel, die um

3 Einheiten nach links verschoben wird?      Lösung

 

104. Wie lautet die Funktionsgleichung einer Normalparabel, die um

2 Einheiten nach rechts und um eine Einheit nach unten verschoben wird?

 

105. Der Scheitelpunkt der Parabel y = 2x² - 2x + 1 wird in den Punkt (5|3) verschoben.

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der verschobenen Parabel.    Lösung

 

106. Ein Bauer will mit 17 m Zaun ein möglichst großes, rechteckiges Stück einer Wiese einzäunen

und dabei eine Scheunenwand als Begrenzung verwenden.

Wie groß sind die kürzere Seite l des Zauns und die Größe der eingezäunten Fläche A?

 

107. Für welche Zahlen, von denen eine um 2 größer ist als die andere, ist ihr Produkt am kleinsten?    Lösung   

 

108. Für welche Zahlen, von denen eine um 4 kleiner ist als die andere, ist ihr Produkt am kleinsten?

 

109. Für welche Zahl ist das Produkt aus ihrem 3fachen und der um 4 vergößerten am kleinsten?     Lösung

 

110. Für welche Zahl ist das Produkt aus ihrem um 4 vergrößerten

4fachen und der um 3 kleineren Zahl am kleinsten?

 

111. Für welche Zahl ist das Produkt aus ihrer Hälfte und der um

10 größeren Zahl am kleinsten?      Lösung

 

112. Die Hundewiese soll in der Ecke zwischen Haus und Garage mit einem

13 m langen Zaun angelegt werden. Welche größte Fläche A entsteht?

 

Aufgabe53a

 

113. Für welche Länge x wird die blaue Fläche A am kleinsten?

Aufgabe53b      Lösung

 

114. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes P auf der Geraden

y = -0,75x + 3, wenn das blaue Rechteck A am größten sein soll.

 

 

Aufgabe54a

 

115. Eine Firma verkauft monatlich 1 000 Bauteile für 10 €/Stück.

Eine Marktanalyse hat ergeben, dass sie 20 Bauteile pro Monat mehr verkaufen kann,

wenn der Stückpreis um 0,1 € sinkt. (40 Bauteile bei 0,2 €/Stück usw.)

Bei welcher Preissenkung sind die Einnahmen am größten?        Lösung

 

116. Ein Zoo hat bei einem Eintrittspreis von 8 € durchschnittlich 240 Besucher.

Wird der Eintrittspreis um 0,5 € errhöht, dann sinkt die Besucherzahl um 10,

erhöht man um 1 € sinkt sie um 20.

Bei welchem Eintrittspreis x sind die Einnahmen am größten?

 

117. In welche Summanden muss man die Zahl 24 zerlegen,

damit die Summe der Quadrate der Summanden am kleinsten wird.     Lösung

 

118. Wie groß ist der maximale Flächeninhalt A eines Rechtecks mit einem Umfang von 16 cm?

 

119. Ein Rechteck hat eine Länge von 10 cm und eine Breite von 4 cm.

Die Länge soll um den Betrag x verkürzt und die Breite um x verlängert werden.

Bei welcher Änderung x entsteht das größte Rechteck?       Lösung

 

120. Wie groß ist die größtmögliche blaue Rechteckfläche A?

 

Aufgabe57a

121. Eine Parallele zur y-Achse schneidet die Parabel y = 0,5x² + 4 im

Punkt P und die Gerade y = 2x in Q. An welcher Stelle x wird die Strecke PQ am kleinsten?     Lösung

 

122. Wie groß ist die größtmögliche blaue Grundfläche A des Behälters,

wenn seine Kanten aus 8 m Winkelstahl hergestellt werden?

 

Aufgabe58a

 

123. Das Blumenbeet wird mit Platten umrandet. 1 m² Blumenbeet kostet 20 €,

1 m² Platten 17,50 €.

Die Kosten für die Einfassung des Beetes von 5 € pro Meter hat der Bauherr angespart.

Für welche Randbreite x sind die weiteren Kosten K am geringsten?     Lösung

Aufgabe58b

 

124. Die Leistung L in W einer Turbine hängt von der Drehzahl n in U/min so ab: L = 300 n - 0,8 n².

Bei welcher Drehzahl ist die Leistung am größten?

 

125. Eine Firma stellt ein Gerät her, das sie für 35 € pro Stück verkauft.

Bei der Herstellung entstehen jeden Tag feste Kosten in Höhe von 1 500 €.

Werden am Tag x Stück produziert, hat sie weitere Kosten in Höhe von 0,05 x².

Bei welcher Tagesproduktion entsteht der höchste Gewinn?      Lösung

 

126. Eine Firma hat bei der Herstellung eines Bauteils jedem Tag feste Kosten

von 500 €, 10 € Material- und Lohnkosten pro Stück und weitere Stückkosten von 0,004 x².

Der Verkaufspreis beträgt 15 € pro Stück. Wie hoch ist der Tagesgewinn, wenn er mit 40% versteuert wird?

 

127. Für welche Länge x wird blaue die Dreiecksfläche am größten?

 

Aufgabe60b    Lösung

 

128. Ein Züchter will für seine 3 Kaninchenrassen aus 20 m Maschendraht die

3 getrennten Gehege abgrenzen. Für welches a wird die Gesamtfläche am größten?

 

Aufgabe61a

 

 

129. Das Fenster hat einen Umfang von U = 6 m. Wie groß muss man x wählen,

damit die Fläche am größten wird?     

Aufgabe61bLösung

 

130. Der Eigentümer will das dreieckige Grundstück bebauen.

Es liegt zwischen den beiden, sich rechtwinklig kreuzenden Straßen.

Wie groß wird die Fläche A des rechtwinkligen blauen Bauplatzes maximall?

 

Aufgabe62a

131. Wie hoch ist der parabelförmige Brückenbogen?

Aufgabe62b     Lösung

 

132. Die Gesamtlänge aller Kanten beträgt 920 cm.

Für welche Längen a und b ist die blaue Fläche am größten?

 

Aufgabe63a

 

133. Die Höhe des roten Rechtecks ist dreimal so groß wie seine Breite.

Für welche Höhe ist die Gesamtfläche der eingefärbten Rechtecke am kleinsten?

 

Aufgabe63b    Lösung

 

134. Die Kugel bewegt sich beim Kugelstoß auf einer parabelförmigen Bahn.

Diese Parabel hat die Funktionsgleichung y = -0,03x² + x + 1,7.

Wie weit fliegt die Kugel, wenn der Kugelstoßer 1,70 m groß ist?

 

Aufgabe64a

 

135. Trifft der Ball in den Korb, wenn seine Flugbahn eine Parabel der Form y = ax² + b ist?

 

Aufgabe64b

 

 

 

136. Ein 36 m hohes Gebäude hat, von vorne betrachtet, ein parabelförmiges Dach,

das bis zum Boden reicht und dort 70 m breit ist.

Wie breit ist ein Zwischenstockwerk in einer Höhe von 12,7 m?      Lösung

 

137. Aus einem Springbrunnen tritt das Wasser in 25 cm Höhe auf einer parabelförmigen

Bahn mit der Funktionsgleichung y = -0,25x² + 2x + 0,25 aus.

In welcher Entfernung zu den Düsen treffen die Wasserstrahlen auf?

 

138. Eine symmetrischer, parabelförmiger Brückenbogen hat eine Spannweite

von 196 m und einen höchsten Punkt bei 107 m.

Wie lautet seine Funktionsgleichung?      Lösung

 

139. Der Bogen einer Hängebrücke ist parabelförmig mit y = 0,001x² und hat eine Höhe von 92 m.

Wie groß ist ihre Spannweite S?

 

140. Welchen Flächeninhalt A hat das größtmögliche Rechteck,

den man aus dem Blechteil abtrennen kann?      

Aufgabe67a    Lösung

 

141. Eine Zeitschrift kostet 3,50 € pro Stück, 5% davon sind Gewinn.

Der wöchentliche Absatz beträgt 240 000 Exemplare.

Man hat herausgefunden, dass man pro 0,02 € Preissenkung 1 500 Exemplare mehr verkaufen kann.

Bei welcher Senkung ist der Gewinn am größten?

 

142. Eine neue Maschine hat Entwicklungskosten von 8 000 000 € verursacht.

Bei der Herstellung entstehen Stückkosten von 500 €.

Der Verkaufspreis V ist von der verkauften Geräteanzahl x abhängig und beträgt 3 300 - 2x.

Wie hoch ist der monatliche Gewinn G, wenn 10% der Herstellungskosten berücksichtigt werden?     Lösung

 

143. Ein Tennisplatz ist 24 m lang. Ein Spieler trifft einen Ball 5 m vor dem Netz,

der Ball überquert auf einer parabelförmigen Bahn in maximaler Höhe von 1,3 m das Netz

und trifft 0,5 m vor der Grundlinie auf. In welcher Höhe hat der Spieler den Ball getroffen?