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Aufgaben zu quadratischen Funktionen

Ergänzen Sie die Wertetabellen für die Graphen der Funktionen, und bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes S:

1. y = f(x) = x² x -2 -1 0 1 2

y 1 0 1

2. y = -x² x -2 -1 0 1 2

y -1 0 -1

3. y = 2x² x -2 -1 0 1 2

y 2 0 2

4. y = -2x² x -2 -1 0 1 2

y -1 0 -1

5. y = 0,5x² x -4 -2 0 2

y 2 0

6. y = -0,5x² x -4 -2 0 2

y -2 0

Welche Koordinaten haben der Scheitelpunkt S und die Nullstellen N der folgenden Funktionen?

7. y = x² + 1,5 Lösung

8. y = x² - 1,5

9. y = 2x² + 1 Lösung

10. y = -2x² - 1

11. y = 0,2x² - 2 Lösung

12. y = -0,2x² + 2

Wie groß ist c, wenn eine Parabel der Form y = x² + c

13. durch den Punkt (0|1) geht? Lösung

14. durch den Punkt (2|0) geht?

15. Liegt der Punkt (1|-3,5) auf dem Graphen der Funktion

y = x² - 4,5?

16. Liegt der Punkt der Punkt (-1|-5,5) auf dem Graphen der Funktion

y = x² - 4,5?

In welchen Punkten schneiden sich

17. die Parabel y = x² + 1 und die Gerade y = x + 3?

18. die Parabel y = x² - 5 und die Gerade y = -x + 1? Lösung

19. Welchen Wert muss x in der Funktion y = x² annehmen, um für

y das 9-fache von 5,76 zu erhalten?

20. Wie groß ist a, wenn eine Parabel der Form y = ax² durch den

Punkt (1|4) geht? Lösung

21. Wie groß ist a, wenn eine Parabel der Form y = ax² durch den

Punkt (-2|8) geht?

22. Wie groß ist a, wenn eine Parabel der Form y = ax² durch den

Punkt (3|-9) geht? Lösung

23. Eine Parabel hat ihren Scheitelpunkt in P(0|-2) und geht durch Q(4|6).

Wie lautet ihre Funktionsgleichung?

24. Eine Parabel der Form y = ax² geht durch den Punkt (0|0).

Liegen die Punkte P(-3|2) und Q(6|8) auf dieser Parabel? Lösung

Welche Koordinaten haben der Scheitelpunkt S und die Nullstellen N der folgenden Funktionen?

25. y = x² + 2x

26. y = x² - 3x Lösung

27. y = 2x² - 4x

28. y = -0,5x² + 3x Lösung

29. y = (x - 9)²

30. y = (x + 2)² Lösung

In welchen Punkten schneiden sich

31. die Parabel y = x² + 2x und die Gerade y = x + 1?

32. die Parabel y = 2x² - 3x und die Gerade y = -x + 2? Lösung

33. Die Funktion y = (x - d)² nimmt für x = -1 und x = 9 den gleichen

Funktionswert an. Für welches x ist der Funktionswert am kleinsten?

34. Welche Funktion y = (x - d)² hat ihren Scheitelpunkt bei (-2|0)? Lösung

35. Die Funktion y = x² wird um 5 Einheiten nach links verschoben.

Wie lautet die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion?

36. Die Funktion y = x² wird um 2 Einheiten nach rechts verschoben. Wie

lautet die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion? Lösung

Welche Koordinaten haben der Scheitelpunkt S und die Nullstellen N der folgenden Funktionen?

37. y = (x - 6)² + 1

38. y = (x - 4)² - 2 Lösung

39. y = x² + 10x + 1

40. y = x² - 12x + 4 Lösung

41. y = x² - 6x - 10

42. y = x² + 9x - 1 Lösung

Eine quadratische Funktion der Form y = x² + bx + c nimmt

43. an der Stelle x₁ = 5 den kleinsten Funktionswert y₁ = 8 an.

Wie groß ist der Funktionswert an der Stelle x = 6?

44. an der Stelle x₁ = -6 den kleinsten Funktionswert y₁ = 1 an.

Wie groß ist der Funktionswert an der Stelle x = 0? Lösung

Bestimmen Sie die quadratische Funktion der Form y = x² + bx + c, die

45. durch die Punkte P₁(2|4) und P₂(-2|0) geht.

46. durch die Punkte P₁(1|3) und P₂(0|2) geht. Lösung

47. durch die Punkte P₁(-3|0) und P₂(2|0) geht.

48. durch die Punkte P₁(5|-5) und P₂(2|0) geht. Lösung

In welchen Punkten schneiden sich

49. die Parabel y = x² + 8x + 3 und die Parabel y = x² -2x + 1?

50. die Parabel y = x² + 7x + 1 und die Parabel y = x² + 1? Lösung

Bestimmen Sie die Koordinaten des Extremwertes für

51. y = x² - x + 1

52. y = -2x² + 4x Lösung

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Parabel

53. deren Scheitelpunkt in (0|2) liegt und die durch den Punkt (3|6) geht.

54. deren Scheitelpunkt in (1|-2) liegt und die durch den Punkt (2|6) geht. Lösung

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Parabel der Form

y = ax² + b,

55. die durch die Punkte P₁(-3|2) und P₂(1|-6) geht.

56. die durch die Punkte P₁(2|-1) und P₂(6|-17) geht. Lösung

Wie lauten die Funktionsgleichungen der dargestellten verschobenen Normalparabeln?

57.

58.

Lösung

59.

60. Ermitteln Sie aus der Wertetabelle die zu einer quadratischen Funktion gehörige Funktionsgleichung:

x -5 -4 -3 -2 -1 0

y 4 1 0 1 4 9 Lösung

61. Eine Parabel hat die Funktionsgleichung y = x² + 6x. Bestimmen Sie ihre Scheitelpunktkoordinaten?

Bestimmen Sie ihre Nullstellen.

Die Parabel wird um 5 Einheiten nach oben und um 5 nach rechts verschoben. Wie lautet die Gleichung der verschobenen Parabel?

Die verschobene Parabel wird an der x-Achse gespiegelt. Wie

lautet die Gleichung der gespiegelten Parabel?

62. Bestimmen Sie den Scheitelpunkt der Parabel y = x² - 2x - 25

Wie viel Einheiten über dem Scheitelpunkt liegt eine 20 Einheiten lange Parallele zur x-Achse?

Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte, die einen Abstand von

10 Einheiten zur x-Achse haben. Lösung

Welche Koordinaten haben der Scheitelpunkt S und die Nullstellen N der Funktion

63. y = 2x² + 4x + 6?

64. y = -x² + 2x - 4? Lösung

65. y = -0,8x² + 0,2x + 4?

3

66. y = ---- x² + 9x + 6? Lösung

4

67. y = -0,5x² + x + 8?

1

68. y = ---- x² + 7x + 6? Lösung

7

2 2 1

69. y = --- x² - --- x + ---?

3 3 2

70. An welchen Stellen x schneiden sich die beiden Parabeln

y = 2x² - 3 und y = 2x² + 2x + 1? Lösung

71. An welchen Stellen x schneiden sich die beiden Parabeln

y = -4x² + 8x - 10 und y = -4x² + 3x?

Wie groß ist a bei einer Funktion der Form y = a(x - b)² + c,

wenn sie

72. den Scheitelpunkt bei (1|4) hat und durch den Punkt (3|0) geht? Lösung

73. den Scheitelpunkt bei (-2|1) hat und durch den Punkt (-1|-1) geht?

Wie groß sind a, b und c bei einer Funktion der Form

y = ax² + bx + c, wenn ihr Graph

74. durch die Punkte P₁(0|1), P₂(1|3) und P₃(-1|3) geht? Lösung

75. durch die Punkte P₁(1|2), P₂(0|4) und P₃(-1|2) geht?

Wie lautet die Funktionsgleichung einer Parabel der Form

y = ax² + bx + c, wenn ihr Graph

76. durch die Punkte P₁(1|17), P₂(-4|82) und P₃(2|22) geht? Lösung

77. durch die Punkte P₁(1|4), P₂(-1|8) und P₃(3|8) geht?

78. durch die Punkte P₁(2|6), P₂(-3|-4) und P₃(1|0) geht? Lösung

79. durch die Punkte P₁(1,5|-2,75), P₂(3,2|-8,36) und P₃(-2,1|28,21) geht?

80. An welchen Stellen x schneiden sich die Parabel y = x² - 7x + 20

und die Gerade y = 5x - 7?

81. An welchen Stellen x schneiden sich die Parabel y = x² + 18x + 68

und die Gerade y = 40x - 142? Lösung

82. An welchen Stellen x schneiden sich die Parabel y = x² - 11x + 53

und die Gerade y = 3x + 4?

83. An welchen Stellen x schneiden sich die Parabel y = 4x² - 28x + 55

und die Gerade y = 2,4x - 2,76? Lösung

Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes S und der Nullstellen

einer Parabel der Form y = ax² + bx + c, wenn ihr Graph

84. durch die Punkte P₁(1|0), P₂(-1|0) und P₃(2|1) geht? Lösung

85. durch die Punkte P₁(0|-2), P₂(-1|1) und P₃(2|6) geht?

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der dargestellten Parabeln:

86. y =

Lösung

87. y =

88. y =

Lösung

89. y =

90. y =

91. y =

Lösung

92. y =

93. y =

Lösung

94. y =

In welchen Punkten schneiden sich die beiden Parabeln?

95. y = -3x² + 5 und y = x² + 1 Lösung

96. y = -5x² - 20x - 23 und y = 0,75x² + 3x

97. y = -3,5x² - 14x - 9 und y = 0,5x² + 2x + 3 Lösung

98. Eine Parabel hat den Scheitelpunkt S(2|4) und schneidet die x-Achse an der Stelle 6.

An welcher Stelle schneidet sie die x-Achse noch?

99. Der Scheitelpunkt einer Parabel liegt oberhalb der x-Achse und bildet mit den Punkten (4|0)

und (8|0) ein rechtwinkliges Dreieck. Berechnen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes. Lösung

100. Eine Parabel geht durch den Punkt (1|1), ist um den Faktor -3 gestreckt, und ihre Symmetrieachse geht durch x = -1.

Wo liegt ihr Scheitelpunkt?

101. Der Graph einer Parabel geht durch die Punkte

x -4 -3 -2 -1 0 1 2

y 18 8 2 0 2 8 18 Lösung

Wie lautet ihre Funktionsgleichung?

102. Wie lautet die Funktionsgleichung einer Normalparabel, die um

4 Einheiten nach unten verschoben wird?

103. Wie lautet die Funktionsgleichung einer Normalparabel, die um

3 Einheiten nach links verschoben wird? Lösung

104. Wie lautet die Funktionsgleichung einer Normalparabel, die um

2 Einheiten nach rechts und um eine Einheit nach unten verschoben wird?

105. Der Scheitelpunkt der Parabel y = 2x² - 2x + 1 wird in den Punkt (5|3) verschoben.

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der verschobenen Parabel. Lösung

106. Ein Bauer will mit 17 m Zaun ein möglichst großes, rechteckiges Stück einer Wiese einzäunen

und dabei eine Scheunenwand als Begrenzung verwenden.

Wie groß sind die kürzere Seite l des Zauns und die Größe der eingezäunten Fläche A?

107. Für welche Zahlen, von denen eine um 2 größer ist als die andere, ist ihr Produkt am kleinsten? Lösung

108. Für welche Zahlen, von denen eine um 4 kleiner ist als die andere, ist ihr Produkt am kleinsten?

109. Für welche Zahl ist das Produkt aus ihrem 3fachen und der um 4 vergößerten am kleinsten? Lösung

110. Für welche Zahl ist das Produkt aus ihrem um 4 vergrößerten

4fachen und der um 3 kleineren Zahl am kleinsten?

111. Für welche Zahl ist das Produkt aus ihrer Hälfte und der um

10 größeren Zahl am kleinsten? Lösung

112. Die Hundewiese soll in der Ecke zwischen Haus und Garage mit einem

13 m langen Zaun angelegt werden. Welche größte Fläche A entsteht?

113. Für welche Länge x wird die blaue Fläche A am kleinsten?

Lösung

114. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes P auf der Geraden

y = -0,75x + 3, wenn das blaue Rechteck A am größten sein soll.

115. Eine Firma verkauft monatlich 1 000 Bauteile für 10 €/Stück.

Eine Marktanalyse hat ergeben, dass sie 20 Bauteile pro Monat mehr verkaufen kann,

wenn der Stückpreis um 0,1 € sinkt. (40 Bauteile bei 0,2 €/Stück usw.)

Bei welcher Preissenkung sind die Einnahmen am größten? Lösung

116. Ein Zoo hat bei einem Eintrittspreis von 8 € durchschnittlich 240 Besucher.

Wird der Eintrittspreis um 0,5 € errhöht, dann sinkt die Besucherzahl um 10,

erhöht man um 1 € sinkt sie um 20.

Bei welchem Eintrittspreis x sind die Einnahmen am größten?

117. In welche Summanden muss man die Zahl 24 zerlegen,

damit die Summe der Quadrate der Summanden am kleinsten wird. Lösung

118. Wie groß ist der maximale Flächeninhalt A eines Rechtecks mit einem Umfang von 16 cm?

119. Ein Rechteck hat eine Länge von 10 cm und eine Breite von 4 cm.

Die Länge soll um den Betrag x verkürzt und die Breite um x verlängert werden.

Bei welcher Änderung x entsteht das größte Rechteck? Lösung

120. Wie groß ist die größtmögliche blaue Rechteckfläche A?

121. Eine Parallele zur y-Achse schneidet die Parabel y = 0,5x² + 4 im

Punkt P und die Gerade y = 2x in Q. An welcher Stelle x wird die Strecke PQ am kleinsten? Lösung

122. Wie groß ist die größtmögliche blaue Grundfläche A des Behälters,

wenn seine Kanten aus 8 m Winkelstahl hergestellt werden?

123. Das Blumenbeet wird mit Platten umrandet. 1 m² Blumenbeet kostet 20 €,

1 m² Platten 17,50 €.

Die Kosten für die Einfassung des Beetes von 5 € pro Meter hat der Bauherr angespart.

Für welche Randbreite x sind die weiteren Kosten K am geringsten? Lösung

124. Die Leistung L in W einer Turbine hängt von der Drehzahl n in U/min so ab: L = 300 n - 0,8 n².

Bei welcher Drehzahl ist die Leistung am größten?

125. Eine Firma stellt ein Gerät her, das sie für 35 € pro Stück verkauft.

Bei der Herstellung entstehen jeden Tag feste Kosten in Höhe von 1 500 €.

Werden am Tag x Stück produziert, hat sie weitere Kosten in Höhe von 0,05 x².

Bei welcher Tagesproduktion entsteht der höchste Gewinn? Lösung

126. Eine Firma hat bei der Herstellung eines Bauteils jedem Tag feste Kosten

von 500 €, 10 € Material- und Lohnkosten pro Stück und weitere Stückkosten von 0,004 x².

Der Verkaufspreis beträgt 15 € pro Stück. Wie hoch ist der Tagesgewinn, wenn er mit 40% versteuert wird?

127. Für welche Länge x wird blaue die Dreiecksfläche am größten?

Lösung

128. Ein Züchter will für seine 3 Kaninchenrassen aus 20 m Maschendraht die

3 getrennten Gehege abgrenzen. Für welches a wird die Gesamtfläche am größten?

129. Das Fenster hat einen Umfang von U = 6 m. Wie groß muss man x wählen,

damit die Fläche am größten wird?

Lösung

130. Der Eigentümer will das dreieckige Grundstück bebauen.

Es liegt zwischen den beiden, sich rechtwinklig kreuzenden Straßen.

Wie groß wird die Fläche A des rechtwinkligen blauen Bauplatzes maximall?

131. Wie hoch ist der parabelförmige Brückenbogen?

Lösung

132. Die Gesamtlänge aller Kanten beträgt 920 cm.

Für welche Längen a und b ist die blaue Fläche am größten?

133. Die Höhe des roten Rechtecks ist dreimal so groß wie seine Breite.

Für welche Höhe ist die Gesamtfläche der eingefärbten Rechtecke am kleinsten?

Lösung

134. Die Kugel bewegt sich beim Kugelstoß auf einer parabelförmigen Bahn.

Diese Parabel hat die Funktionsgleichung y = -0,03x² + x + 1,7.

Wie weit fliegt die Kugel, wenn der Kugelstoßer 1,70 m groß ist?

135. Trifft der Ball in den Korb, wenn seine Flugbahn eine Parabel der Form y = ax² + b ist?

136. Ein 36 m hohes Gebäude hat, von vorne betrachtet, ein parabelförmiges Dach,

das bis zum Boden reicht und dort 70 m breit ist.

Wie breit ist ein Zwischenstockwerk in einer Höhe von 12,7 m? Lösung

137. Aus einem Springbrunnen tritt das Wasser in 25 cm Höhe auf einer parabelförmigen

Bahn mit der Funktionsgleichung y = -0,25x² + 2x + 0,25 aus.

In welcher Entfernung zu den Düsen treffen die Wasserstrahlen auf?

138. Eine symmetrischer, parabelförmiger Brückenbogen hat eine Spannweite

von 196 m und einen höchsten Punkt bei 107 m.

Wie lautet seine Funktionsgleichung? Lösung

139. Der Bogen einer Hängebrücke ist parabelförmig mit y = 0,001x² und hat eine Höhe von 92 m.

Wie groß ist ihre Spannweite S?

140. Welchen Flächeninhalt A hat das größtmögliche Rechteck,

den man aus dem Blechteil abtrennen kann?

Lösung

141. Eine Zeitschrift kostet 3,50 € pro Stück, 5% davon sind Gewinn.

Der wöchentliche Absatz beträgt 240 000 Exemplare.

Man hat herausgefunden, dass man pro 0,02 € Preissenkung 1 500 Exemplare mehr verkaufen kann.

Bei welcher Senkung ist der Gewinn am größten?

142. Eine neue Maschine hat Entwicklungskosten von 8 000 000 € verursacht.

Bei der Herstellung entstehen Stückkosten von 500 €.

Der Verkaufspreis V ist von der verkauften Geräteanzahl x abhängig und beträgt 3 300 - 2x.

Wie hoch ist der monatliche Gewinn G, wenn 10% der Herstellungskosten berücksichtigt werden? Lösung

143. Ein Tennisplatz ist 24 m lang. Ein Spieler trifft einen Ball 5 m vor dem Netz,

der Ball überquert auf einer parabelförmigen Bahn in maximaler Höhe von 1,3 m das Netz

und trifft 0,5 m vor der Grundlinie auf. In welcher Höhe hat der Spieler den Ball getroffen?