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Extremwertaufgaben
1. Wie muss
man die Zahl 100 so in die Summanden x und y zerlegen,
dass die
Summe S von deren Quadraten am kleinsten wird? Lösung
2. Wie muss
man die Zahl 500 so in die Summanden x und y zerlegen,
dass deren
Produkt P am größten wird?
3. Welche
beiden reellen Zahlen x und y, deren Differenz 1 beträgt,
haben das
kleinste Produkt P? Lösung
4. Berechnen
Sie die kleinstmögliche Summe S aus einer positiven Zahl x
und ihrem
Kehrwert.
5. Für
welchen echten Bruch ist die Differenz D mit seinem
Quadrat am
größten? Lösung
6. Einem
Dreieck mit der Grundlinie c und der Höhe h soll das
größtmögliche
Parallelogramm einbeschrieben werden.
Wie groß ist
dessen Grundlinie g?
7. Wie groß
ist die Länge l des größtmöglichen Rechtecks,
das einem
gleichschenkligen Dreieck mit der Schenkellänge 10 cm
und einer
Höhe von 6 cm einbeschrieben wird?
8. Wie groß
ist der maximale Flächeninhalt A des Rechtecks,
das mit einem
40 m langen Zaun und einer Hauswand als Begrenzung,
hergestellt
werden kann?
9. Aus einem
Zaun mit einer Länge von x m soll ein Rechteck so gebildet werden,
dass sein
Flächeninhalt maximal wird. Wie lang ist dessen größere Seite l?
10. Die
Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind zusammen 15 cm lang.
Wie groß darf
die kleinere sein, wenn die kleinstmögliche Hypotenuse entstehen soll?
11. Für
welches a wird der Flächeninhalt A des einbeschriebenen Rechtecks maximalt?
12. Die
Tragfähigkeit T eines rechteckigen Balkens mit der Breite b und der Höhe h
wird mit T =
(b * h²)/6 berechnet. Ein Balken wird aus einem runden Baumstamm
mit dem
Durchmesser d gesägt.
Wie groß ist
b in Abhängigkeit von d, wenn die Tragfähigkeit maximal sein soll?
13. Ein
Fenster hat die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis.
Wie groß muss
der Durchmesser d des Halbkreises sein,
damit bei
gegebenem Fensterumfang U die Fläche am größten wird?
14. Wie groß
ist die längere Seite b des in die Raute einbeschriebenen Rechtecks,
wenn sein
Flächeninhalt A maximal sein soll?
15. Wie groß
ist die Seite x des in das gleichseitige Dreieck einbeschriebenen
Parallelogramms,
wenn dessen Flächeninhalt A maximal sein soll? Lösung
16. Wie groß
ist eine Seite a des einbeschriebenen Quadrates,
wenn sein
Flächeninhalt am kleinsten sein soll?
17. Wie groß
ist der maximale Flächeninhalt A des dem gleichschenkligen
Dreieck
einbeschriebenen Rechtecks?
18. Wie groß
ist die Höhe h des einbeschriebenen gleichschenkligen Trapezes,
wenn sein
Flächeninhalt A maximal sein soll und der Radius r gegeben ist?
19. Wie groß ist
bei gegebenem Umfang U die längere Seite a eines Rechtecks,
wenn sein
Flächeninhalt A maximal sein soll? Lösung
20. Wie groß
ist bei gegebenem Flächeninhalt A die kürzere Seite b eines Rechtecks,
wenn sein
Umfang U minimal sein soll?
21. Einem
gleichseitigen Dreieck mit der Seite a ist ein Rechteck einbeschrieben.
Wie lang
müssen die Rechteckseiten x und y werden, damit sein Flächeninhalt
maximal
wird? Lösung
22. Wie groß
ist die Höhe y des einbeschriebenen gleichschenkligen Dreiecks,
wenn h und c
gegeben sind und seine Spitze auf dem Mittelpunkt von c liegt?
23. Es gibt
viele Rechtecke, deren Diagonale d gleich lang ist.
Welche
Seitenlänge a hat das mit dem größten Flächeninhalt?
24. Es gibt
viele Rechtecke, deren Diagonale d gleich lang ist.
Welche
Seitenlänge b hat das mit dem größten Umfang?
25. Wie groß ist ein Schenkel a eines
gleichschenkligen Dreiecks,
dessen
Flächeninhalt A bei gegebenem Umfang U am größten ist? Lösung
26. In das
Quadrat mit der bekannten Seite a ist ein Quadrat einbeschrieben.
Wie lang ist
dessen Seite b, wenn sein Flächeninhalt A minimal sein soll?
27. Wie groß
ist die Hypotenuse c, wenn der Flächeninhalt A des rechtwinkligen
Dreiecks ABC,
dessen Katheten den Halbkreis von außen berühren, minimal sein soll?
28. Wie groß
ist der Durchmesser a des aufgesetzten Halbkreises,
wenn der
Flächeninhalt A des Fensters bei bekanntem Umfang U
maximal sein
soll?
29. Die
Stadionfläche ohne Laufbahn habe einen Umfang U = 400 m.
Welche Länge
l muss das rechteckige Fußballfeld haben, damit es am
größten wird?
30. Der
Abwasserkanal hat eine Querschnittsfläche A von 3 m².
Wie groß ist
der Radius r des aufgesetzten Halbkreises, wenn der Umfang U
minimal sein
soll?
31. Wie
lautet die größere Zahl x von 2 reellen Zahlen,
die sich um 1
unterscheiden und deren Produkt P am kleinsten wird? Lösung
32. Für
welche positive Zahl x wird die Summe S aus dieser Zahl
und ihrem
Kehrwert am kleinsten?
33. Welchen
maximalen Flächeninhalt A hat ein rechteckiges Grundstück
mit einem
Umfang U von 6 km? Lösung
34. Für
welches x wird die Summe S von f(x) = 0,5x² + 2 und
g(x)
= x² - 2x + 2 minimal, wenn x nicht kleiner als 0 und nicht
größer als 4
sein soll?
35. Für
welches x wird die Differenz D von f(x) = 0,5x² + 2 und
g(x)
= x² - 2x + 2 maximal, wenn x nicht kleiner als 0 und
nicht größer
als 4 sein soll? Lösung
36. Für
welches x wird das Produkt P von f(x) = 0,5x² + 2 und
g(x)
= x² - 2x + 2 minimal, wenn x nicht kleiner als 0 und nicht
größer als 4
sein soll?
37. Welche
maximale Fläche A entsteht, wenn der Zaun des Geheges 25 m lang ist?
38. Wie lang
ist die kürzeste Diagonale d aller Rechtecke mit einem
Umfang von 30
cm?
39. Wie viel
cm liegt P von B entfernt, wenn M auf der Mitte von DC liegt,
QR und OP
parallel zu AM verlaufen und die Fläche des einbeschriebenen
Parallelogramms
am größten sein soll?
40. Einem
Kreis mit dem Radius r = 10 cm ist ein Rechteck einbeschrieben.
Wie groß ist
dessen maximaler Umfang U?
41. Wie groß
ist die maximale Fläche A des eingefügten Rechtecks?
42. Wie groß
ist die maximale Fläche A des eingefügten Rechtecks?
43. Wie groß
ist die maximale Fläche A des eingefügten Rechtecks,
wenn der
Abstand zu den Begrenzungen 3 m betragen soll?
44. Wie groß
ist die maximale Fläche A des eingefügten Rechtecks,
wenn der
Abstand zu den Begrenzungen 3 m betragen soll?
45. Aus der
Platte mit der abgesprungenen Ecke soll zur Schadensbegrenzung
das
größtmögliche Rechteck herausgearbeitet werden.
Wie groß ist
dessen Flächeninhalt A?
46. Die in das
Zylindergehäuse mit dem Radius r eingesetzte kreuzförmige
Spule soll
eine maximale Querschnittsfläche bekommen.
Wie groß ist
dabei die Länge a zu wählen?
47. Wird die
kürzere Seite b eines Rechtecks um den Betrag x verlängert
und die
längere Seite a um den gleichen Betrag verkürzt, so entsteht ein
neues
Rechteck? Wie groß ist dessen maximale Fläche A?
48. Wie groß
ist der maximale Flächeninhalt A des Dreiecks DEF,
wenn EF
parallel zu AB verläuft?
49. Ein
Dreieck habe maximalen Flächeninhalt A.
Welche Länge
hat seine Grundseite g, wenn s die Summe aus der Grundseite
und der Höhe
h ist? Lösung
50. Wie lang
ist die kürzere Kathete a in einem rechtwinkligen Dreieck,
wenn die
Hypotenuse g minimal und s gleich der Summe der beiden
Kathetenlängen
ist?
51. Die
Gerade durch den Punkt Q soll so verlaufen, dass der
Flächeninhalt
des abgeschnittenen rechtwinkligen Dreiecks ABC minimal wird?
Wie lang ist
dann der Achsenabschnitt m?
52. Die
Gerade durch den Punkt Q soll so verlaufen, dass die Summe s der
Achsenabschnitte
minimal wird. Wie groß ist s?
53. Wie groß
ist der minimale Flächeninhalt A des rechtwinkligen Dreiecks,
das um den
Halbkreis mit dem Radius r gezeichnet wird?
54. Für
welchen Winkel α wird die Fläche A des gleichschenkligen Trapezes maximal?
55. Wie groß
ist der kleinere Teil x einer Strecke a, wenn die Summe aus dem
Quadrat der
größeren Teilstrecke und dem doppelten Quadrat der
kleineren am
kleinsten sein soll? Lösung
56. Eine
Strecke a ist so zu teilen, dass das Rechteck aus den Teilstrecken x
und y am
größten wird. Wie groß sind x und y?
57. Die Summe
der beiden Katheten x und y eines rechtwinkligen Dreiecks sei s.
Wie groß sind
x und y, wenn die Hypotenuse c minimal sein soll? Lösung
58. Aus einer
Strecke s soll ein gleichschenkliges Dreieck so geformt werden,
dass dessen
Fläche A maximal wird. Wie groß ist die Grundseite c des Dreiecks?
59. Wie groß ist
die Höhe h des in das gleichschenklige Dreieck einbeschriebenen
größten
Parallelogramms, wenn y und c gegeben sind?
60. Der
Ellipse mit gegebenem a und b soll ein größtmögliches Rechteck
einbeschrieben
werden? Wie groß ist x?
61. Der
Ellipse mit gegebenem a und b soll ein größtmögliches gleichschenkliges
Dreieck
einbeschrieben werden? Wie groß ist g?
62. Der
Ellipse mit gegebenem a und b soll ein größtmögliches gleichschenkliges
Dreieck
einbeschrieben werden? Wie groß ist h?
63. Wie lang
ist die Kathete b des in den Halbkreis mit dem Radius r eingefügten
rechtwinkligen
Dreiecks, wenn dessen Fläche A maximal sein soll?
64. Wie lang
ist die Grundseite g des in den Halbkreis mit dem Radius r eingefügten
Dreiecks,
wenn dessen Fläche A maximal sein soll?
65. Wie lang
ist die parallele Seite c des in den Halbkreis mit dem Radius r eingefügten
gleichschenkligen
Trapezes, wenn dessen Fläche A maximal sein soll?
66. Wie lang
ist die Seite a des in den Halbkreis mit dem Radius r einbeschriebenen
Rechtecks,
wenn dessen Fläche A maximal sein soll?
67. Wie lang
ist die Seite a des in den Halbkreis mit dem Radius r einbeschriebenen
Rechtecks,
wenn dessen Umfang U maximal sein soll?
68. Bei
welchem Radius r wird der Kreisausschnitt mit dem Umfang U maximal?
69. Wie weit
muss P von M₁ entfernt sein, damit die Summe s der
beiden
Tangenten a und b am größten wird?
70. Dem Quadrat
mit der Seite a ist das gleichschenklige Dreieck so umschrieben,
dass sein
Flächeninhalt A minimal wird. Wie groß ist seine Höhe h?
71. Dem Halbkreis
mit dem Radius r ist das gleichschenklige Dreieck so
umschrieben,
dass sein Flächeninhalt A minimal wird. Wie groß ist seine
Höhe h?
72. Dem
Halbkreis mit dem Radius r ist das gleichschenklige Dreieck so umschrieben,
dass sein
Schenkel s minimal wird. Wie groß ist s?
73. Die Raute
umschreibt einen Kreis mit dem Radius r.
Wie groß ist
eine Seite s der Raute, wenn ihr Flächeninhalt A minimal sein soll?
74. Aus dem
quadratischen Blech sollen die 4 Ecken so abgeschnitten werden,
dass ein
Kasten mit größtem Volumen V entsteht. Wie groß ist x?
75. Welchen
Durchmesser d hat ein Zylinder mit maximalem Volumen V,
der in den
Kegel mit dem Durchmesser d₁ und der Höhe h₁ eingesetzt werden
kann?
76. Eine geschlossene
zylindrische Dose mit vorgegebenem Volumen V soll mit
dem
geringsten Materialbedarf A hergestellt werden.
Welche Höhe h
hat diese Dose?
77. Wie groß
ist das maximale Volumen V eines geschlossenen Behälters,
der aus dieser
Blechtafel hergestellt werden kann?
78. Welche
Höhe h hat der Quader mit quadratischer Grundfläche,
der der gegebenen
quadratischen Pyramide einbeschrieben ist,
wenn sein
Volumen V maximal sein soll?
79. Durch den
Kanal fließt Wasser. Wie groß muss l sein, wenn bei gegebenem
Querschnitt A
die benetzte Länge u am kleinsten sein soll?
80. Wie groß
ist das maximale Volumen V eines Quadermodells, mit einer Grundfläche,
deren eine
Seite dreimal so groß ist wie die andere und das aus einem 120 cm
langen Draht
hergestellt wird?
81. Wie groß
ist das maximale Volumen V eines Quaders mit quadratischer Grundfläche
und einer
Oberfläche von 240 cm²? Lösung
82. Aus dem
rechteckigen Blech sollen die 4 Ecken so abgeschnitten werden,
dass ein oben
offener Kasten mit größtem Volumen V entsteht. Wie groß ist x?
83. Das rechtwinklige
Dreieck dreht sich um eine Kathete und erzeugt so einen Kegel.
Für welches a
hat dieser Kegel größtes Volumen V?
84. Dem Kegel
wird ein Zylinder mit maximalem Volumen V einbeschrieben.
Wie groß ist
V?
85. Dem Kegel
wird ein Kegel mit der Spitze mittig nach unten und maximalem
Volumen V
einbeschrieben. Wie groß ist V?
86. Wie groß
ist der Radius r des in die Kugel einbeschriebenen Zylinders
mit maximalem
Volumen?
87. Wie groß
ist die Höhe h des in die Kugel einbeschriebenen Kegels mit
maximalem
Volumen und der Spitze nach unten?
88. Wie groß
ist die Seitenlänge x eines Quaders mit quadratischer Grundfläche
und maximalem
Volumen V, der einer quadratischen Pyramide mit der Grundseite g
und der Höhe
h₁ einbeschrieben ist?
89. Wie muss
sich der Durchmesser des Zylinders zu seiner Länge verhalten,
wenn der
Abstand e zu der mittigen Öffnung im Zylinder vorgegeben ist und
sein Volumen
maximal sein soll?
90. Welche
Höhe h hat ein Zylinder, der bei gegebenem Volumen V eine minimale
Oberfläche O
hat?
91. Welchen
Radius r hat ein Zylinder, der bei gegebenem Oberflächeninhalt O
maximales
Volumen V hat? Lösung
92. Welche Höhe hat ein Kegel, der bei gegebener
Mantellinie s maximales
Volumen hat?
93. Wie groß
ist der Grundkreisradius x des Zylinders, der dem Kegel mit dem
Radius r und
der Höhe h einbeschrieben ist und dessen Oberfläche O
maximal sein
soll?
94. Wie groß
ist die Höhe y des Zylinders, der dem Kegel mit dem
Radius r und
der Höhe h einbeschrieben ist und dessen Mantelfläche M
maximal sein
soll?
95. Wie groß ist die Höhe h des Zylinders, der
der Kugel mit dem Radius r
einbeschrieben
ist und dessen Oberfläche O maximal sein soll?
96. Wie groß
ist der Radius x des Zylinders, der der Kugel mit dem
Radius r
einbeschrieben ist und dessen Mantelfläche M maximal sein soll?
97. Wie groß
ist die Höhe h eines Zylinders mit maximalem Volumen V,
der einer
Halbkugel mit dem Radius r einbeschrieben wird?
98. Wie groß
ist die Grundseite a einer Dose mit quadratischer Grundfläche
und dem
Volumen V, wenn ihre Oberfläche O minimal sein soll?
99. Wie groß
ist die Seite x der abgeschnittenen Ecken (bei gebenen a und b),
wenn durch
Umformung eine oben offene Schachtel mit maximalem Volumen entstehen soll?
100. Wie groß
ist der Radius r eines zylinderförmigen Bechers,
wenn er bei
gegebenem Volumen V den minimalen Blechbedarf hat?
101. Wie groß
ist der Radius r eines Zylinders mit aufgesetzter Halbkugel,
der bei
gegebenem Oberflächeninhalt O maximales Volumen V hat? Lösung
102. Welche
Länge l hat ein Zylinder, wenn die Summe aus l und dem
Grundkreisdurchmesser
d 100 cm beträgt und sein Volumen V maximal ist?
103. Ein oben
offener Karton mit quadratischer Grundfläche hat ein Volumen
von 10 cm³.
Wie groß ist seine Höhe h, wenn seine Oberfläche O
minimal sein
soll? Lösung
104. Aus dem
Karton entsteht durch Ausschneiden von 6 Quadraten und Biegen
eine
Schachtel, deren Deckel an 3 Seiten überlappt. Welche Höhe h hat diese
Schachtel,
wenn ihr Volumen V maximal sein soll?
105. Wie groß
ist die Grundseite x der Rinne, wenn sie maximales Volumen V fasssen soll?
106. Wie groß
ist die Seite a des ausgeschnittenen Sterns,
wenn das
Volumen V der durch Biegen entstehenden quadratischen
Pyramide
maximal sein soll?
107. Wie groß
ist der Winkel φ des Kegels, der der Kugel mit dem gegebenen
Radius R
einbeschrieben ist, wenn sein Volumen V maximal sein soll?
108. Wie groß
ist die Höhe h eines oben offenen Kegels, der eine Mantellinie s
von 10 cm hat
und dessen Volumen V maximal sein soll?
109. Eine
oben offene Schachtel ist 5 cm lang, 3,5 cm breit und 1,2 cm hoch.
Wie viel
Prozent beträgt die Materialersparnis, wenn bei gleicher Länge l und
Volumen V ihr
Oberflächeninhalt O minimal ist? Lösung
110. Für
einen Zylinder gilt: Länge l + 2 * Durchmesser d = 104 cm.
Wie groß ist
l, wenn l nicht kleiner als 10 und größer als 90 cm und das Volumen V
maximal sein
soll?
111. In
welcher Höhe h muss eine Lampe vertikal und mittig über dem Tisch mit
dem Radius r
angebracht sein, damit die Lichtstärke
L = k * sin
φ/l² mit k = konstant im Punkt A maximal ist?
112. Wie groß
ist das maximale Volumen V des abgebildeten Behälters,
bestehend aus
einem Kegel und aufgesetztem Zylinder?
113. Ein
Rechteck mit dem Umfang a rotiert um eine seiner Seiten.
Wie groß ist
die kleinere Seite x der Rechteckseiten x und y,
wenn das
entstehende Zylindervolumen V maximal sein soll? Lösung
114. Ein
Rechteck mit dem Umfang a rotiert um eine seiner Seiten.
Wie groß sind
die beiden Rechteckseiten x und y, wenn die entstehende
Mantelfläche
M maximal sein soll?
115. Welche
Höhe h hat eine quadratische Pyramide mit einer Seitenlänge
von 3 m, wenn
ihr Volumen V maximal sein soll? Lösung
116. Wie groß
ist der Winkel α, wenn aus dem Kreisausschnitt mit dem
Radius r = 20
cm ein Kegel mit maximalem Volumen entstehen soll?
117. Welche
Höhe h hat ein Kegel, der auf einen Zylinder mit gleichem Grundkreisradius r
aufgesetzt
ist, wenn die Höhe h = 2/3 r und das Gesamtvolumen V = 6π betragen und
die Gesamtoberfläche
O minimal sein soll?
118. Wie groß
ist die Höhe x eines rechtwinkligen Dreiecks mit der Hypotenuse c = 10 cm,
das sich um
die Hypotenuse dreht, 2 Kegel erzeugt und deren Volumen V maximal sein soll?
119. Der
Punkt P hat einen Abstand x vom Schenkel a und y vom Schenkel b des
rechtwinkligen
Dreiecks ABC.
Wie lang ist der Schenkel a, wenn die Länge l der Strecke BC minimal sein soll?
120. Wie groß
ist der Abstand x der in die Kugel mit dem Radius r einbeschriebenen
regelmaßigen
Pyramide mit quadratischer Grundfläche, wenn ihr Volumen V maximal sein soll?
121. Wie groß
ist die Höhe h der in die Halbkugel mit dem Radius r einbeschriebenen
quadratischen
Pyramide, wenn deren Volumen V maximal sein soll?
122. Wie groß
ist die Höhe h eines Kegels, der bei gegebener Oberfläche O
maximales
Volumen V hat?
123. Wie groß
ist die Höhe h eines Kegels, der bei gegebenem Volumen V
eine minimale
Oberfläche O hat? Lösung
124. Wie groß
ist die Grundseite a einer quadratischen Pyramide,
wenn bei
gegebener Oberfläche O, ihr Volumen V maximal sein soll?
125. Wie groß
ist die Höhe h einer quadratischen Pyramide,
wenn bei
gegebenem Volumen V, ihre Oberfläche O minimal sein soll? Lösung
126. Wie groß
ist der Grundkreisradius g eines Kegels,
der einer
Kugel mit dem Radius r umschrieben ist und dessen Volumen V
minimal sein
soll?
127. Wie groß
ist der Grundkreisradius g eines Kegels,
der einer
Kugel mit dem Radius r umschrieben ist und dessen Oberfläche O
minimal sein
soll? Lösung
128. Wie groß
ist der Grundkreisradius g eines Kegels,
der einer
Kugel mit dem Radius r umschrieben ist und dessen Mantelfläche M
minimal sein
soll?
129. Wie groß
ist die Höhe h eines Kegels,
der einer
Halbkugel mit dem Radius r umschrieben ist und dessen Volumen V
minimal sein
soll? Lösung
130. Wie groß
ist die Höhe h eines Kegels, der einer Halbkugel mit dem
Radius r
umschrieben ist und dessen Mantelfläche M minimal sein soll?
131. Wie groß
ist der Radius g des in die Kugel mit dem Radius r einbeschriebenen
Zylinders mit
aufgesetzten Kegeln, wenn deren Gesamtvolumen V maximal sein soll?
132. Wie groß
ist die Höhe h des Dreiecks, das dem Quadrat mit der
Seite a
umschrieben ist, wenn das Volumen V des Körpers,
der um 2r
rotiert, minimal sein soll?
133. Wie groß
ist OA, damit die Gerade durch den gegebenen Punkt P ein
Dreieck OAB
mit minimalem Flächeninhalt A ausschneidet?
134. Welche
Breite b hat ein rechteckiger Balken, der aus einem Baumstamm mit dem
Durchmesser d
geschnitten wird und dessen Widerstandsmoment W = (1/σ) * lb²
maximal sein
soll?
135. Wie groß
ist der Durchmesser d einer Dose, wenn bei gegebenem Volumen V
der
Materialverbrauch minimal sein soll?
136. Welche
Höhe h hat das Reckteck mit maximalem Flächeninhalt A zwischen der
dargestellten
Funktion f(x) = 8x - x²?
137. Bei
welcher Stückzahl x sind die Stückkosten k(x) minimal, wenn ein
Betrieb
mit der
Gesamtkostenfunktion K(x) = x³ - 9x² + 40x + 25 arbeitet?
138. Bei
welcher Stückzahl x sind die variablen Stückkosten kv(x) minimal,
wenn ein
Betrieb mit der Gesamtkostenfunktion
K(x)
= x³ - 9x² + 40x + 25 arbeitet? Lösung
139. Bei
welcher Stückzahl x ist der Gewinn G maximal, wenn ein Betrieb mit der
Gesamtkostenfunktion
K(x) = x³ - 9x² + 40x + 25 und der Erlösfunktion E(x) =
40x arbeitet?
140. Wie groß
ist die Breite b eines oben offenen quaderförmigen Behälters,
wenn er aus
4,8 m langem Winkeleisen hergestellt, seine Breite und die Länge l
sich wie 2 :
3 verhalten und sein Volumen V maximal sein soll? Lösung
141. Wie groß
ist der kürzeste Abstand a eines Punktes auf dem Graphen der
Funktion f(x)
= x² + 1 vom Graphen der Funktion g(x) = x - 1?
142. Wie groß
ist die Seite a des Rechtecks, wenn es von den Funktionen
f(x)
= x und g(x) = 3 - x/2 begrenzt wird und sein Flächeninhalt A
maximal
sein soll?
143. Wie groß ist die Seite a des Rechtecks, wenn
es von den Funktionen
f(x)
= 2 - x/2 und g(x) = 
begrenzt wird und sein Flächeninhalt A maximal
sein soll?
144. Wie groß
ist die Seite a des Rechtecks, wenn es von den Funktionen
f(x)
= 2 - x/2 und g(x) = begrenzt wird und sein Umfang U maximal
sein soll?
145. Bei
welcher Stückzahl x sind a) die Stückkosten k(x) minimal und
b) der Gewinn
G(x) maximal, wenn ein Betrieb mit der Gesamtkostenfunktion
K(x)
= x³/2 - 1,5x² + 2x + 18 und der Erlösfunktion E(x) = 10x arbeitet?
146. Ein
Betrieb arbeitet mit der Kostenfunktion
K(x)
= 0,1x³ - 2x² + 30x + 175. Für welche Erlösfunktion der Form
E(x)
= m * x ist der Gewinn G gleich Null?
Lösung
147. Ein
Betrieb arbeitet mit der Kostenfunktion K(x) = 1,5x + 40 und der
Erlösfunktion
E(x)
= 19,5x - x².
a) Welche
Koordinaten hat der Cournotsche Punkt?
b) Bei
welcher Menge x liegt die Gewinngrenze?
148. Welchen maximalen
Umfang U hat das Reckteck unter dem Graphen der
Funktion f(x)
= 6 - 0,25x²?
149. Welchen
maximalen Flächeninhalt A hat das Reckteck unter dem Graphen
der Funktion
f(x) = 6 - 0,25x²?
150. Geraden
der Form f(x) = ax - a² schneiden von der Geraden x = 6 Stücke der
Länge l ab,
die über der x-Achse liegen. Für welches a wird dieses Stück am größten,
wenn 0 < a
< 6 ist? Lösung
151. Geraden
der Form f(x) = ax - a² erzeugen mit der Geraden x = 6 oberhalb
der x-Achse
Dreiecke mit dem Flächeninhalt A.
Für welches a
wird dieses Dreieck am größten, wenn 0 < a < 6 ist?
152. Wie groß
ist x, wenn der Flächeninhalt A des Rechtecks, das durch f(x) und g(x)
begrenzt
wird, maximal sein soll?
153. Wie groß
ist x, wenn der Umfang U des Rechtecks, das durch f(x) und g(x)
begrenzt
wird, maximal sein soll?
154. Wie groß
ist b, wenn der Punkt P die Koordinaten (p,q) hat und der
Flächeninhalt
A des Dreiecks ABC minimal sein soll?
155. Wie
lautet die x-Koordinate eines Punktes P auf f(x), mit kürzestem
Abstand zum
Koordinatenursprung?
156. Wie
lautet die x-Koordinate eines Punktes P auf f(x), mit kürzestem
Abstand zum
Koordinatenursprung?
157. Wie groß
ist das absolute Minimum der Funktion
f(x)
= x³ - 6x² + 3x + 1 im Bereich 1 ≦ x ≦ 4?
158. Wie sind
a) die Koordinaten für den Punkt A des Rechtecks mit maximalem
Umfang U, das
von der Parabel f(x) = 4 - ax² mit a > 0 begrenzt wird?
b) Wie groß
ist a, wenn U 12 LE beträgt?
159. Kanäle
mit solchem Querschnitt werden üblicherweise aus Beton gegossen
oder aus Metall
gefertigt. Welche Breite a hat ein solcher Kanal, wenn minimaler
Materialverbrauch
bei gegebenem Flächeninhalt A gefordert ist?
160. Ein
Betrieb kann bei einem Verkaufspreis von 20 € und einem Selbstkostenpreis
von 14 € 10
000 kg einer Ware verkaufen. Durch Marktbeobachtung hat er ermittelt,
dass er bei
einer Preissenkung um 0,5 € 1 000 kg mehr verkaufen kann.
Wie oft muss
er den Preis senken, um maximalen Gewinn zu erzielen? Lösung
161. Für
welches a in der Funktion f(x) = ax - a² wird aus der Geraden
y = 9 die
absolut kleinste Länge d abgeschnitten?
162. Wie groß
ist g, wenn der Flächeninhalt A des Rechtecks,
das durch f(x)
und g(x) begrenzt wird, maximal sein soll?
163. Welchen
maximalen Flächeninhalt A hat das Reckteck unter den
Graphen der
Funktion f(x) = 12 - a²x² für a > 0?
164. Wie
lautet die x-Koordinate des Punktes P auf dem Halbkreis,
beschrieben
durch f(x), wenn das einbeschriebene Rechteck um die
x-Achse
rotiert und der entstehende Zylinder maximales Volumen V
haben soll?
165. An
welcher Stelle x zwischen 1 und 3 ist die Differenz d zwischen
g(x)
und f(x) am größten?
166. Für
welches a zwischen 0 und 3 ist der Flächeninhalt A des einbeschriebenen
Rechtecks am
größten?
167. Für
welches a zwischen 0 und 3 ist der Umfang U des
einbeschriebenen
Rechtecks am größten?
168. Der
zylindrische oben offene 2 l Blechtopf soll so durch Schweißen aus der
Grund- und
der Mantelfläche hergestellt werden, dass die Länge l der Schweißnaht
minimal wird?
Wie groß ist l?
169. Wie groß
ist der Radius r des zylindrischen oben offenen 2 l Blechtopfs,
wenn der
Materialverbrauch M minimal sein sol?
170. Welche
y-Koordinate hat ein Punkt A auf f(x) = x², der vom Punkt P(1|2)
den kleinsten
Abstand d hat? Lösung
171. Welche x-Koordinate
hat ein Punkt A auf f(x) = -2x²+ 4, der vom Punkt P(0|0)
den kleinsten
Abstand d hat?
172. Ein
Betrieb arbeitet mit der Gesamtkostenfunktion
K(x)
= x³ - 10x² + 37x + 102 und der Erlösfunktion E(x) = 50x für 0 ≦ x ≦ 11.
a) Wie groß ist
der maximale Gewinn G?
b) Wie groß
ist x im Betriebsoptimum?
c) Wie groß
ist x im Betriebsminimum? Lösung
173. Ein
Betrieb arbeitet mit der Gesamtkostenfunktion
K(x)
= x³ - 6,125x² + 12,5x + 10,25 und der Erlösfunktion E(x) = 9,375x
für 0 ≦ x ≦ 6.
Um wieviel GE
müssten die Fixkosten gesenkt werden, damit bei einem
neuen
Verkaufspreis von 8,125 GE/Stück die Gewinnschwelle gleichbleibt?
174. Ein
Betrieb arbeitet mit der Gesamtkostenfunktion K(x) = 0,05x² + 1
und der
Erlösfunktion E(x) = 0,6x für 0 ≦ x ≦ 11.
Bei welcher
Menge x erzielt der Betrieb maximalen Gewinn? Lösung
175. Ein
Betrieb arbeitet mit der Gesamtkostenfunktion
K(x)
= 0,05x² + 0,03x + 1,1 für 0 ≦ x ≦ 9. Bei welcher Menge x entsteht
das
Betriebsoptimum?
176. Ein
Betrieb arbeitet mit der Gesamtkostenfunktion
K(x)
= 0,09x² + 0,09x + 2 für 0 ≦ x ≦ 10. Bei welcher Menge x entsteht
das
Betriebsminimum? Lösung
177. Wie groß
ist der maximale Gewinn G eines Betriebes, der Fixkosten
von 3 GE und
variable Kosten von Kv(x) = 0,0125x³ - 0,0875x² + 0,525x
hat, wenn
sein Produkt für 1,25 GE/ME verkauft wird und seine Fixkosten
um 1 GE
gesenkt werden können, 0 ≦ x ≦ 12?
178. Ein
Monopolist berechnet seine Gesamtkosten mit
K(x)
= x³ - 10x² + 56x + 100 für 0 ≦ x ≦ 10.
Seine
Erlösfunktion ist quadratisch und lautet E(x) = ax² + bx.
Sie hat eine
Nullstelle bei x = 12, und der maximale Erlös beträgt 432 GE.
a) Bei
welchem Verkaufspreis erzielt der Hersteller maximalen Gewinn?
b) Welchen
maximalen Gewinn erzielt er, wenn die Fixkosten um 50%
gesenkt
werden und E(x) = 60x ist?
Lösung
179. Welche
x-Koordinate muss ein Punkt P auf f(x) = (7/16)x² + 2 für
0 ≦ x ≦ 4 haben, wenn der Flächeninhalt A des
dargestellten Rechtecks
maximal sein
soll?
180. Wie groß
ist der Winkel α, wenn der Flächeninhalt A des Dreiecks maximal sein soll?
181. Für
welches u wird der Flächeninhalt des Fünfecks ABCDE maximal?
182. Welche
y-Koordinate hat ein Punkt A auf f(x) = 1/x, der vom Punkt P(0|0)
den kleinsten
Abstand d hat?
183. Welche
x-Koordinate hat ein Punkt A auf f(x) = √x,
der vom Punkt
P(a|0), a ≧
0,5, den kleinsten Abstand d hat?
184. Wie groß
ist die Breite b eines Balkens, der aus einem Baumstamm
mit dem
Radius r = 50 cm geschnitten wird und dessen Tragfähigkeit
T = b * h²
maximal sein soll?
185. Wie weit
von C entfernt sollte auf dem Kanal ein Schiff die Fracht übernehmen,
die von A
nach C transportiert werden soll, wenn der Transport mit Lkw pro km 1,7 mal
so teuer wie
mit dem Schiff ist und die Gesamtkosten K minimal sein sollen?
186. Wie groß
muss der Winkel α an der Grundseite a der Blechrinne in Form
eines
gleichschenkligen Trapezes sein, wenn sie aus 3 gleich langen Stücken besteht
und die
Querschnittsfläche A der Rinne maximal sein soll?
187. Welche
Länge l darf die Stange höchstens haben, damit man sie aus der bebauten
Straße a in
die bebaute Straße b transportieren kann.
(Hinweis: Es
wird so getan, als ob die Stange keine Dicke hätte. Kein realistisches Modell.)
188. In
welcher Entfernung d sieht ein Betrachter das Bild unter dem
größten
Sehwinkel γ?
189. Die
Schar der Geraden durch die Punkte P(-a,a) und Q(1-a,1-a) hüllt eine Kurve ein.
Wie lautet
deren Funktionsgleichung für 0 ≦ a ≦ 1?
190. Die
Schar der Geraden durch die Punkte P(0,1-a) und Q(a,0) hüllt eine Kurve ein.
Wie lautet
deren Funktionsgleichung für a > 0?
191. Die
Schar der Geraden durch die Punkte P(-a,0) und Q(a,2a²) hüllt eine Kurve ein.
Wie lautet
deren Funktionsgleichung für 0 ≦ a ≦ 1?
192. Die
Schar der Geraden durch die Punkte P(a,1/a²) und Q(0,3/a²) hüllt eine Kurve
ein.
Wie lautet
deren Funktionsgleichung für 0 ≦ a ≦ 1?
193. Die
Schar der Geraden durch die Punkte P(1/a²,- 2/a) und Q(1,a -3/a) hüllt eine
Kurve ein.
Wie lautet
deren Funktionsgleichung für 0 ≦ a ≦ 1?
194. Wie
viele Fahrzeuge können pro Stunde mit einer vorgeschriebenen
Richtgeschwindigkeit
in kürzester Zeit einen Messpunkt durchfahren, wenn
sie einen Sicherheitsabstand
von 0,5 * (v/100 )² in m einhalten und die
durchschnittliche
Fahrzeuglänge 12 m beträgt? Lösung
195. Von A
fährt ein Radfahrer mit 10 km/h in Richtung Kreuzung,
von B
gleichzeitig einer mit 12 km/h. Wann ist der Abstand a zwischen
den beiden am
geringsten?
196. Wie groß
ist der Mittelpunktswinkel α eines Kreisausschnitts aus Blech
mit dem
Radius r = 20 cm, der zu einem offenen Kegel mit
maximalem
Volumen V gebogen werden soll?
197. Der Sicherheitsabstand
S zweier Autos beträgt für v in km/h
v² v
S(v) = ----- + ---- + 6 m
100 3,6
Für eine
Fahrzeugkolonne, die eine 1 000 m lange Messstrecke in einer Stunde durchfährt,
gilt die
Verkehrsdichte D
1 000 v
D(v) = ----------
S(v)
Wie viele
Fahrzeuge durchfahren diese Messstrecke in einer Stunde,
wenn die
Verkehrsdichte maximal sein soll?
198. Wie weit
von C entfernt sollte auf dem Kanal ein Schiff die Fracht übernehmen,
die von A
nach C transportiert werden soll, wenn der Transport mit einem Schiff 80%
der
Lkw-Kosten beträgt und die Gesamtkosten K minimal sein sollen?
(Siehe
Aufgabe 185)
199. Wie groß
darf eine Strömungsgeschwindigkeit vS sein, damit ein Boot
mit der
Eigengeschwindigkeit von 10 m/s 500 m mit und 180 m gegen die
Strömung in
kürzester Zeit t zurücklegt?
200. Wie groß ist der kürzeste Abstand d
des Punktes P von einem Punkt Q auf f(x)?
201. Wie groß
ist der kürzeste Abstand d des Punktes P von einem Punkt Q auf f(x)?
202. Wie groß
ist der kürzeste Abstand d des Punktes P von einem Punkt Q bzw. Q' auf f(x)?
203. Wie groß
ist der kürzeste Abstand d zwischen f(x) und g(x)?
204. Für
welche x-Koordinate von Q wird der Fächeninhalt A des Dreiecks PQR
am
größten? Lösung
205. Für
welche x-Koordinate des Punktes B ist der Flächeninhalt A des rechtwinkligen
Dreiecks ABC
am größten?
206. Welche
Höhe h hat das einbeschriebene Rechteck mit maximalem Flächeninhalt A?
207. Für
welche x-Koordinate des Punktes Q ist der Flächeninhalt des rechtwinkligen
Dreiecks PQR
am größten?
208. Wie groß
ist die Seite BC des einbeschriebenen Dreiecks, wenn der
Flächeninhalt
A maximal sein soll?
209. Für
welche x-Koordinate des Punktes B ist der Flächeninhalt A des
rechtwinkligen
Dreiecks ABC am größten?
210. Ein Getränkehersteller
bietet in diesen geschlossenen zylindrischen Metalldosen Saft an.
Aus
Hygienegründen wird die gesamte Innenfläche beschichtet.
Wie groß ist
der Radius r der Dose, wenn die Innenfläche minimal sein soll und in den
zylindrischen
Teil 0,55 l passen?
211. Wie groß
ist die Höhe h der Dreiecke (blau), die aus dem quadratischen Blech
ausgeschnitten
werden, wenn die danach gebogene quadratische Pyramide (rot)
maximales
Volumen V haben soll?
212. Ein
Fußgänger befindet sich in Punkt A in unwegsamem Gelände und will nach D,
das an der
ausgebauten Straße von B aus liegt. Im Gelände schafft er 4 km/h,
auf der Staße
6 km/h.
Wie weit von
B entfernt sollte er C erreichen, damit er in kürzester Zeit am Ziel ist?
213. Haus F
soll von A aus an eine Versorgungsleitung angeschlossen werden.
Die Verlegung
kostet auf der Straße von A nach C 72 €/m, im Gelände 90 €/m.
Wie weit von
A entfernt muss der Abzweig B liegen,
wenn die
Kosten K minimal sein sollen?
214. Zwischen
D und E verläuft eine Bahnstrecke. Die Orte A und C sollen an
diese
Bahnlinie angebunden werden. Wie weit von D entfernt soll der zukünftige
Bahnhof B
liegen, wenn die Strecke ABC am kürzesten sein soll?
215. Wie weit
ist der Punkt B von D entfernt, wenn bei gegebener Geschwindigkeit v
die Strecke
von A nach C in der kürzesten Zeit t zurückgelegt werden soll?
216. Ein
Fußgänger geht von A aus mit einer Geschwindigkeit von 0,2 m/s auf S zu,
ein anderer
von B aus mit 0,3 m/s. Nach welcher Zeit t ist die Entfernung zwischen
den beiden am
kleinsten?
