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Extremwertaufgaben
1. Wie muss
man die Zahl 100 so in die Summanden x und y zerlegen,
dass die
Summe S von deren Quadraten am kleinsten wird? Lösung
2. Wie muss
man die Zahl 500 so in die Summanden x und y zerlegen,
dass deren
Produkt P am größten wird?
3. Welche
beiden reellen Zahlen x und y, deren Differenz 1 beträgt,
haben das
kleinste Produkt P? Lösung
4. Berechnen
Sie die kleinstmögliche Summe S aus einer positiven Zahl x
und ihrem
Kehrwert.
5. Für
welchen echten Bruch ist die Differenz D mit seinem
Quadrat am
größten? Lösung
6. Einem
Dreieck mit der Grundlinie c und der Höhe h soll das
größtmögliche
Parallelogramm einbeschrieben werden.
Wie groß ist
dessen Grundlinie g?
7. Wie groß
ist die Länge l des größtmöglichen Rechtecks,
das einem
gleichschenkligen Dreieck mit der Schenkellänge 10 cm
und einer
Höhe von 6 cm einbeschrieben wird?
8. Wie groß
ist der maximale Flächeninhalt A des Rechtecks,
das mit einem
40 m langen Zaun und einer Hauswand als Begrenzung,
hergestellt
werden kann?
9. Aus einem
Zaun mit einer Länge von x m soll ein Rechteck so
gebildet
werden, dass sein Flächeninhalt maximal wird.
Wie lang ist
dessen größere Seite l?
10. Die
Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind zusammen
15 cm lang.
Wie groß darf
die kleinere sein, wenn die kleinstmögliche
Hypotenuse
entstehen soll?
11. Für
welches a wird der Flächeninhalt A des einbeschriebenen
Rechtecks
maximalt?
12. Die
Tragfähigkeit T eines rechteckigen Balkens mit der
Breite b und
der Höhe h wird mit T = (b * h²)/6 berechnet.
Ein Balken
wird aus einem runden Baumstamm mit dem
Durchmesser d
gesägt.
Wie groß ist
b in Abhängigkeit von d, wenn die Tragfähigkeit
maximal sein
soll?
13. Ein
Fenster hat die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem
Halbkreis.
Wie groß muss
der Durchmesser d des Halbkreises sein, damit
bei gegebenem
Fensterumfang U die Fläche am größten wird?
14. Wie groß
ist die längere Seite b des in die Raute
einbeschriebenen
Rechtecks, wenn sein Flächeninhalt A
maximal sein
soll?
15. Wie groß
ist die Seite x des in das gleichseitige Dreieck
einbeschriebenen
Parallelogramms, wenn dessen Flächeninhalt A
maximal sein
soll? Lösung
16. Wie groß
ist eine Seite a des einbeschriebenen Quadrates,
wenn sein
Flächeninhalt am kleinsten sein soll?
17. Wie groß
ist der maximale Flächeninhalt A des dem
gleichschenkligen
Dreieck einbeschriebenen Rechtecks?
18. Wie groß
ist die Höhe h des einbeschriebenen gleichschenkligen
Trapezes, wenn
sein Flächeninhalt A maximal sein soll und der
Radius r
gegeben ist?
19. Wie groß
ist bei gegebenem Umfang U die längere Seite a
eines
Rechtecks, wenn sein Flächeninhalt A maximal sein soll? Lösung
20. Wie groß
ist bei gegebenem Flächeninhalt A die kürzere
Seite b eines
Rechtecks, wenn sein Umfang U minimal sein soll?
21. Einem
gleichseitigen Dreieck mit der Seite a ist ein Rechteck
einbeschrieben.
Wie lang
müssen die Rechteckseiten x und y werden, damit sein
Flächeninhalt
maximal wird? Lösung
22. Wie groß
ist die Höhe y des einbeschriebenen gleichschenkligen
Dreiecks, wenn
h und c gegeben sind und seine Spitze auf dem
Mittelpunkt
von c liegt?
23. Es gibt
viele Rechtecke, deren Diagonale d gleich lang ist.
Welche
Seitenlänge a hat das mit dem größten Flächeninhalt?
24. Es gibt
viele Rechtecke, deren Diagonale d gleich lang ist.
Welche
Seitenlänge b hat das mit dem größten Umfang?
25. Wie groß ist ein Schenkel a eines
gleichschenkligen
Dreiecks, dessen
Flächeninhalt A bei gegebenem Umfang
U am größten
ist? Lösung
26. In das
Quadrat mit der bekannten Seite a ist ein Quadrat
einbeschrieben.
Wie lang ist
dessen Seite b, wenn sein Flächeninhalt A minimal
sein soll?
27. Wie groß
ist die Hypotenuse c, wenn der Flächeninhalt A des
rechtwinkligen
Dreiecks ABC, dessen Katheten den Halbkreis von
außen
berühren, minimal sein soll?
28. Wie groß
ist der Durchmesser a des aufgesetzten Halbkreises,
wenn der
Flächeninhalt A des Fensters bei bekanntem Umfang U
maximal sein
soll?
29. Die
Stadionfläche ohne Laufbahn habe einen Umfang U = 400 m.
Welche Länge
l muss das rechteckige Fußballfeld haben, damit es am
größten wird?
30. Der
Abwasserkanal hat eine Querschnittsfläche A von 3 m².
Wie groß ist
der Radius r des aufgesetzten Halbkreises, wenn
der Umfang U minimal
sein soll?
31. Wie
lautet die größere Zahl x von 2 reellen Zahlen,
die sich um 1
unterscheiden und deren Produkt P am
kleinsten
wird? Lösung
32. Für
welche positive Zahl x wird die Summe S aus dieser
Zahl und
ihrem Kehrwert am kleinsten?
33. Welchen
maximalen Flächeninhalt A hat ein rechteckiges
Grundstück mit
einem Umfang U von 6 km? Lösung
34. Für
welches x wird die Summe S von f(x) = 0,5x² + 2 und
g(x)
= x² - 2x + 2 minimal, wenn x nicht kleiner als 0 und nicht
größer als 4
sein soll?
35. Für
welches x wird die Differenz D von f(x) = 0,5x² + 2 und
g(x)
= x² - 2x + 2 maximal, wenn x nicht kleiner als 0 und
nicht größer
als 4 sein soll? Lösung
36. Für
welches x wird das Produkt P von f(x) = 0,5x² + 2 und
g(x)
= x² - 2x + 2 minimal, wenn x nicht kleiner als 0 und nicht
größer als 4
sein soll?
37. Welche
maximale Fläche A entsteht, wenn der Zaun des
Geheges 25 m
lang ist?
38. Wie lang
ist die kürzeste Diagonale d aller Rechtecke mit einem
Umfang von 30
cm?
39. Wie viel
cm liegt P von B entfernt, wenn M auf der Mitte
von DC liegt,
QR und OP parallel zu AM verlaufen und die
Fläche des
einbeschriebenen Parallelogramms am größten sein soll?
40. Einem
Kreis mit dem Radius r = 10 cm ist ein Rechteck
einbeschrieben.
Wie groß ist
dessen maximaler Umfang U?
41. Wie groß
ist die maximale Fläche A des eingefügten Rechtecks?
42. Wie groß
ist die maximale Fläche A des eingefügten Rechtecks?
43. Wie groß
ist die maximale Fläche A des eingefügten Rechtecks,
wenn der
Abstand zu den Begrenzungen 3 m betragen soll?
44. Wie groß
ist die maximale Fläche A des eingefügten Rechtecks,
wenn der
Abstand zu den Begrenzungen 3 m betragen soll?
45. Aus der
Platte mit der abgesprungenen Ecke soll zur
Schadensbegrenzung
das größtmögliche Rechteck
herausgearbeitet
werden.
Wie groß ist
dessen Flächeninhalt A?
46. Die in
das Zylindergehäuse mit dem Radius r eingesetzte
kreuzförmige Spule
soll eine maximale Querschnittsfläche
bekommen.
Wie groß ist
dabei die Länge a zu wählen?
47. Wird die
kürzere Seite b eines Rechtecks um den Betrag x
verlängert und
die längere Seite a um den gleichen Betrag
verkürzt, so
entsteht ein neues Rechteck?
Wie groß ist
dessen maximale Fläche A?
48. Wie groß
ist der maximale Flächeninhalt A des
Dreiecks DEF,
wenn EF parallel zu AB verläuft?
49. Ein
Dreieck habe maximalen Flächeninhalt A.
Welche Länge
hat seine Grundseite g, wenn s die Summe
aus der
Grundseite und der Höhe h ist? Lösung
50. Wie lang
ist die kürzere Kathete a in einem
rechtwinkligen
Dreieck, wenn die Hypotenuse g minimal
und s gleich
der Summe der beiden Kathetenlängen ist?
51. Die
Gerade durch den Punkt Q soll so verlaufen, dass der
Flächeninhalt
des abgeschnittenen rechtwinkligen Dreiecks ABC
minimal wird?
Wie lang ist
dann der Achsenabschnitt m?
52. Die
Gerade durch den Punkt Q soll so verlaufen, dass die
Summe s der Achsenabschnitte
minimal wird.
Wie groß ist
s?
53. Wie groß
ist der minimale Flächeninhalt A des rechtwinkligen
Dreiecks, das
um den Halbkreis mit dem Radius r gezeichnet wird?
54. Für
welchen Winkel α wird die Fläche A des gleichschenkligen
Trapezes
maximal?
55. Wie groß
ist der kleinere Teil x einer Strecke a, wenn die Summe
aus dem Quadrat
der größeren Teilstrecke und dem doppelten
Quadrat der kleineren
am kleinsten sein soll? Lösung
56. Eine
Strecke a ist so zu teilen, dass das Rechteck aus den
Teilstrecken
x und y am größten wird.
Wie groß sind
x und y?
57. Die Summe
der beiden Katheten x und y eines rechtwinkligen
Dreiecks sei
s. Wie groß sind x und y, wenn die Hypotenuse c minimal
sein
soll? Lösung
58. Aus einer
Strecke s soll ein gleichschenkliges Dreieck so geformt
werden, dass
dessen Fläche A maximal wird.
Wie groß ist
die Grundseite c des Dreiecks?
59. Wie groß
ist die Höhe h des in das gleichschenklige Dreieck
einbeschriebenen
größten Parallelogramms, wenn y und c gegeben
sind?
60. Der
Ellipse mit gegebenem a und b soll ein größtmögliches
Rechteck einbeschrieben
werden?
Wie groß ist
x?
61. Der
Ellipse mit gegebenem a und b soll ein größtmögliches
gleichschenkliges
Dreieck einbeschrieben werden?
Wie groß ist
g?
62. Der
Ellipse mit gegebenem a und b soll ein größtmögliches
gleichschenkliges
Dreieck einbeschrieben werden?
Wie groß ist
h?
63. Wie lang
ist die Kathete b des in den Halbkreis mit dem Radius r
eingefügten rechtwinkligen
Dreiecks, wenn dessen Fläche A maximal
sein soll?
64. Wie lang
ist die Grundseite g des in den Halbkreis mit dem
Radius r
eingefügten Dreiecks, wenn dessen Fläche A maximal
sein soll?
65. Wie lang
ist die parallele Seite c des in den Halbkreis mit dem
Radius r
eingefügten gleichschenkligen Trapezes, wenn dessen
Fläche A
maximal sein soll?
66. Wie lang
ist die Seite a des in den Halbkreis mit dem
Radius r
einbeschriebenen Rechtecks, wenn dessen Fläche A
maximal sein
soll?
67. Wie lang
ist die Seite a des in den Halbkreis mit dem
Radius r
einbeschriebenen Rechtecks, wenn dessen Umfang U
maximal sein
soll?
68. Bei
welchem Radius r wird der Kreisausschnitt mit dem
Umfang U
maximal?
69. Wie weit
muss P von M₁ entfernt sein, damit die Summe s der
beiden
Tangenten a und b am größten wird?
70. Dem
Quadrat mit der Seite a ist das gleichschenklige Dreieck
so
umschrieben, dass sein Flächeninhalt A minimal wird.
Wie groß ist
seine Höhe h?
71. Dem
Halbkreis mit dem Radius r ist das gleichschenklige
Dreieck so umschrieben,
dass sein Flächeninhalt A minimal wird.
Wie groß ist
seine Höhe h?
72. Dem
Halbkreis mit dem Radius r ist das gleichschenklige
Dreieck so
umschrieben, dass sein Schenkel s minimal wird.
Wie groß ist
s?
73. Die Raute
umschreibt einen Kreis mit dem Radius r.
Wie groß ist
eine Seite s der Raute, wenn ihr Flächeninhalt A
minimal sein
soll?
74. Aus dem quadratischen
Blech sollen die 4 Ecken so
abgeschnitten
werden, dass ein Kasten mit größtem Volumen V
entsteht.
Wie groß ist
x?
75. Welchen
Durchmesser d hat ein Zylinder mit maximalem
Volumen V, der
in den Kegel mit dem Durchmesser d₁ und der
Höhe h₁
eingesetzt werden kann?
76. Eine
geschlossene zylindrische Dose mit vorgegebenem
Volumen V
soll mit dem geringsten Materialbedarf A hergestellt
werden.
Welche Höhe h
hat diese Dose?
77. Wie groß
ist das maximale Volumen V eines geschlossenen
Behälters, der
aus dieser Blechtafel hergestellt werden kann?
78. Welche
Höhe h hat der Quader mit quadratischer Grundfläche,
der der
gegebenen quadratischen Pyramide einbeschrieben ist,
wenn sein
Volumen V maximal sein soll?
79. Durch den
Kanal fließt Wasser.
Wie groß muss
l sein, wenn bei gegebenem Querschnitt A
die benetzte
Länge u am kleinsten sein soll?
80. Wie groß
ist das maximale Volumen V eines
Quadermodells,
mit einer Grundfläche, deren eine
Seite dreimal
so groß ist wie die andere und das
aus einem 120
cm langen Draht hergestellt wird?
81. Wie groß
ist das maximale Volumen V eines
Quaders mit
quadratischer Grundfläche
und einer
Oberfläche von 240 cm²? Lösung
82. Aus dem
rechteckigen Blech sollen die 4 Ecken
so
abgeschnitten werden, dass ein oben offener
Kasten mit
größtem Volumen V entsteht.
Wie groß ist
x?
83. Das
rechtwinklige Dreieck dreht sich um eine Kathete
und erzeugt
so einen Kegel.
Für welches a
hat dieser Kegel größtes Volumen V?
84. Dem Kegel
wird ein Zylinder mit maximalem Volumen V
einbeschrieben.
Wie groß ist
V?
85. Dem Kegel
wird ein Kegel mit der Spitze mittig nach unten und maximalem
Volumen V
einbeschrieben. Wie groß ist V?
86. Wie groß
ist der Radius r des in die Kugel
einbeschriebenen
Zylinders mit maximalem Volumen?
87. Wie groß
ist die Höhe h des in die Kugel einbeschriebenen
Kegels mit maximalem
Volumen und der Spitze nach unten?
88. Wie groß
ist die Seitenlänge x eines Quaders mit
quadratischer
Grundfläche und maximalem Volumen V,
der einer
quadratischen Pyramide mit der Grundseite g
und der Höhe
h₁ einbeschrieben ist?
89. Wie muss
sich der Durchmesser des Zylinders zu seiner
Länge
verhalten, wenn der Abstand e zu der mittigen Öffnung
im Zylinder
vorgegeben ist und sein Volumen maximal sein soll?
90. Welche
Höhe h hat ein Zylinder, der bei gegebenem Volumen V
eine minimale
Oberfläche O hat?
91. Welchen
Radius r hat ein Zylinder, der bei gegebenem
Oberflächeninhalt
O maximales Volumen V hat? Lösung
92. Welche Höhe hat ein Kegel, der bei gegebener
Mantellinie s
maximales Volumen hat?
93. Wie groß
ist der Grundkreisradius x des Zylinders, der
dem Kegel mit
dem Radius r und der Höhe h einbeschrieben
ist und
dessen Oberfläche O maximal sein soll?
94. Wie groß
ist die Höhe y des Zylinders, der dem Kegel
mit dem Radius
r und der Höhe h einbeschrieben ist und
dessen
Mantelfläche M maximal sein soll?
95. Wie groß ist die Höhe h des Zylinders, der
der Kugel
mit dem
Radius r einbeschrieben ist und dessen Oberfläche O
maximal sein
soll?
96. Wie groß
ist der Radius x des Zylinders, der der Kugel
mit dem Radius
r einbeschrieben ist und dessen Mantelfläche M
maximal sein
soll?
97. Wie groß
ist die Höhe h eines Zylinders mit maximalem
Volumen V, der
einer Halbkugel mit dem Radius r einbeschrieben
wird?
98. Wie groß
ist die Grundseite a einer Dose mit quadratischer
Grundfläche und
dem Volumen V, wenn ihre Oberfläche O
minimal sein
soll?
99. Wie groß
ist die Seite x der abgeschnittenen Ecken
(bei gebenen
a und b), wenn durch Umformung eine oben
offene
Schachtel mit maximalem Volumen entstehen soll?
100. Wie groß
ist der Radius r eines zylinderförmigen Bechers,
wenn er bei
gegebenem Volumen V den minimalen Blechbedarf hat?
101. Wie groß
ist der Radius r eines Zylinders mit aufgesetzter
Halbkugel, der
bei gegebenem Oberflächeninhalt O maximales
Volumen V
hat? Lösung
102. Welche
Länge l hat ein Zylinder, wenn die Summe aus l
und dem Grundkreisdurchmesser
d 100 cm beträgt und sein
Volumen V
maximal ist?
103. Ein oben
offener Karton mit quadratischer Grundfläche
hat ein
Volumen von 10 cm³.
Wie groß ist
seine Höhe h, wenn seine Oberfläche O minimal
sein
soll? Lösung
104. Aus dem
Karton entsteht durch Ausschneiden von
6 Quadraten
und Biegen eine Schachtel, deren Deckel an
3 Seiten
überlappt.
Welche Höhe h
hat diese Schachtel, wenn ihr Volumen V
maximal sein
soll?
105. Wie groß
ist die Grundseite x der Rinne, wenn sie
maximales
Volumen V fasssen soll?
106. Wie groß
ist die Seite a des ausgeschnittenen Sterns,
wenn das
Volumen V der durch Biegen entstehenden
quadratischen
Pyramide maximal sein soll?
107. Wie groß
ist der Winkel φ des Kegels, der der Kugel mit
dem gegebenen
Radius R einbeschrieben ist, wenn sein
Volumen V
maximal sein soll?
108. Wie groß
ist die Höhe h eines oben offenen Kegels, der
eine
Mantellinie s von 10 cm hat und dessen Volumen V
maximal sein
soll?
109. Eine
oben offene Schachtel ist 5 cm lang, 3,5 cm breit
und 1,2 cm
hoch.
Wie viel
Prozent beträgt die Materialersparnis, wenn bei gleicher
Länge l und Volumen
V ihr Oberflächeninhalt O minimal ist?
Lösung
110. Für
einen Zylinder gilt: Länge l + 2 * Durchmesser d = 104 cm.
Wie groß ist
l, wenn l nicht kleiner als 10 und größer als 90 cm
und das
Volumen V maximal sein soll?
111. In
welcher Höhe h muss eine Lampe vertikal und mittig
über dem
Tisch mit dem Radius r angebracht sein, damit
die
Lichtstärke L = k * sin φ/l² mit k = konstant im Punkt A
maximal ist?
112. Wie groß
ist das maximale Volumen V des abgebildeten Behälters,
bestehend aus
einem Kegel und aufgesetztem Zylinder?
113. Ein
Rechteck mit dem Umfang a rotiert um eine seiner Seiten.
Wie groß ist
die kleinere Seite x der Rechteckseiten x und y,
wenn das
entstehende Zylindervolumen V maximal sein soll? Lösung
114. Ein
Rechteck mit dem Umfang a rotiert um eine seiner Seiten.
Wie groß sind
die beiden Rechteckseiten x und y, wenn die entstehende
Mantelfläche
M maximal sein soll?
115. Welche
Höhe h hat eine quadratische Pyramide mit einer Seitenlänge
von 3 m, wenn
ihr Volumen V maximal sein soll? Lösung
116. Wie groß
ist der Winkel α, wenn aus dem Kreisausschnitt mit dem
Radius r = 20
cm ein Kegel mit maximalem Volumen entstehen soll?
117. Welche
Höhe h hat ein Kegel, der auf einen Zylinder mit
gleichem
Grundkreisradius r aufgesetzt ist, wenn die Höhe
h = 2/3 r und
das Gesamtvolumen V = 6π betragen und
die Gesamtoberfläche
O minimal sein soll?
118. Wie groß
ist die Höhe x eines rechtwinkligen Dreiecks mit
der
Hypotenuse c = 10 cm, das sich um die Hypotenuse
dreht,
2 Kegel
erzeugt und deren Volumen V maximal sein soll?
119. Der
Punkt P hat einen Abstand x vom Schenkel a und y
vom Schenkel
b des rechtwinkligen Dreiecks ABC.
Wie lang ist
der Schenkel a, wenn die Länge l der Strecke BC
minimal sein
soll?
120. Wie groß
ist der Abstand x der in die Kugel mit dem Radius r
einbeschriebenen
regelmaßigen Pyramide mit quadratischer
Grundfläche,
wenn ihr Volumen V maximal sein soll?
121. Wie groß
ist die Höhe h der in die Halbkugel mit dem Radius r
einbeschriebenen
quadratischen Pyramide, wenn deren Volumen V
maximal sein
soll?
122. Wie groß
ist die Höhe h eines Kegels, der bei gegebener
Oberfläche O maximales
Volumen V hat?
123. Wie groß
ist die Höhe h eines Kegels, der bei gegebenem
Volumen V eine
minimale Oberfläche O hat? Lösung
124. Wie groß
ist die Grundseite a einer quadratischen Pyramide,
wenn bei
gegebener Oberfläche O, ihr Volumen V maximal sein soll?
125. Wie groß
ist die Höhe h einer quadratischen Pyramide,
wenn bei
gegebenem Volumen V, ihre Oberfläche O minimal
sein
soll? Lösung
126. Wie groß
ist der Grundkreisradius g eines Kegels,
der einer
Kugel mit dem Radius r umschrieben ist und dessen
Volumen V minimal
sein soll?
127. Wie groß
ist der Grundkreisradius g eines Kegels,
der einer
Kugel mit dem Radius r umschrieben ist und dessen
Oberfläche O minimal
sein soll? Lösung
128. Wie groß
ist der Grundkreisradius g eines Kegels,
der einer
Kugel mit dem Radius r umschrieben ist und
dessen
Mantelfläche M minimal sein soll?
129. Wie groß
ist die Höhe h eines Kegels,
der einer
Halbkugel mit dem Radius r umschrieben ist und
dessen
Volumen V minimal sein soll? Lösung
130. Wie groß
ist die Höhe h eines Kegels, der einer Halbkugel
mit dem Radius
r umschrieben ist und dessen Mantelfläche M
minimal sein
soll?
131. Wie groß
ist der Radius g des in die Kugel mit dem Radius r
einbeschriebenen
Zylinders mit aufgesetzten Kegeln, wenn deren
Gesamtvolumen
V maximal sein soll?
132. Wie groß
ist die Höhe h des Dreiecks, das dem Quadrat mit der
Seite a
umschrieben ist, wenn das Volumen V des Körpers,
der um 2r
rotiert, minimal sein soll?
133. Wie groß
ist OA, damit die Gerade durch den gegebenen
Punkt P ein Dreieck
OAB mit minimalem Flächeninhalt A ausschneidet?
134. Welche
Breite b hat ein rechteckiger Balken, der aus einem
Baumstamm mit
dem Durchmesser d geschnitten wird und dessen
Widerstandsmoment
W = (1/σ) * lb² maximal sein soll?
135. Wie groß
ist der Durchmesser d einer Dose, wenn bei gegebenem
Volumen V der
Materialverbrauch minimal sein soll?
136. Welche
Höhe h hat das Reckteck mit maximalem Flächeninhalt A
zwischen der dargestellten
Funktion f(x) = 8x - x²?
137. Bei
welcher Stückzahl x sind die Stückkosten k(x) minimal,
wenn ein
Betrieb mit der Gesamtkostenfunktion
K(x)
= x³ - 9x² + 40x + 25 arbeitet?
138. Bei
welcher Stückzahl x sind die variablen Stückkosten kv(x)
minimal, wenn
ein Betrieb mit der Gesamtkostenfunktion
K(x)
= x³ - 9x² + 40x + 25 arbeitet? Lösung
139. Bei
welcher Stückzahl x ist der Gewinn G maximal, wenn ein
Betrieb mit
der Gesamtkostenfunktion K(x) = x³ - 9x² + 40x + 25
und der Erlösfunktion
E(x) = 40x arbeitet?
140. Wie groß
ist die Breite b eines oben offenen quaderförmigen
Behälters, wenn
er aus 4,8 m langem Winkeleisen hergestellt,
seine Breite
und die Länge l sich wie 2 : 3 verhalten und sein
Volumen V
maximal sein soll? Lösung
141. Wie groß
ist der kürzeste Abstand a eines Punktes auf dem
Graphen der Funktion
f(x) = x² + 1 vom Graphen der Funktion
g(x)
= x - 1?
142. Wie groß
ist die Seite a des Rechtecks, wenn es von den
Funktionen f(x)
= x und g(x) = 3 - x/2 begrenzt wird und sein
Flächeninhalt
A maximal sein soll?
143. Wie groß ist die Seite a des Rechtecks, wenn
es von
den
Funktionen f(x) = 2 - x/2 und g(x) = 
begrenzt wird
und sein
Flächeninhalt A maximal sein soll?
144. Wie groß
ist die Seite a des Rechtecks, wenn es von
den
Funktionen f(x) = 2 - x/2 und g(x) = begrenzt wird
und sein
Umfang U maximal
sein soll?
145. Bei
welcher Stückzahl x sind a) die Stückkosten k(x) minimal und
b) der Gewinn
G(x) maximal, wenn ein Betrieb mit der Gesamtkostenfunktion
K(x)
= x³/2 - 1,5x² + 2x + 18 und der Erlösfunktion E(x) = 10x arbeitet?
146. Ein
Betrieb arbeitet mit der Kostenfunktion
K(x)
= 0,1x³ - 2x² + 30x + 175. Für welche Erlösfunktion der Form
E(x)
= m * x ist der Gewinn G gleich Null?
Lösung
147. Ein
Betrieb arbeitet mit der Kostenfunktion K(x) = 1,5x + 40 und
der
Erlösfunktion E(x) = 19,5x - x².
a) Welche
Koordinaten hat der Cournotsche Punkt?
b) Bei
welcher Menge x liegt die Gewinngrenze?
148. Welchen
maximalen Umfang U hat das Reckteck unter dem
Graphen der Funktion
f(x) = 6 - 0,25x²?
149. Welchen
maximalen Flächeninhalt A hat das Reckteck unter
dem Graphen der
Funktion f(x) = 6 - 0,25x²?
150. Geraden
der Form f(x) = ax - a² schneiden von der Geraden
x = 6 Stücke
der Länge l ab, die über der x-Achse liegen.
Für welches a
wird dieses Stück am größten, wenn 0 < a < 6 ist? Lösung
151. Geraden
der Form f(x) = ax - a² erzeugen mit der Geraden
x = 6
oberhalb der x-Achse Dreiecke mit dem Flächeninhalt A.
Für welches a
wird dieses Dreieck am größten, wenn 0 < a < 6 ist?
152. Wie groß
ist x, wenn der Flächeninhalt A des Rechtecks, das
durch f(x)
und g(x) begrenzt wird, maximal sein soll?
153. Wie groß
ist x, wenn der Umfang U des Rechtecks, das durch
f(x)
und g(x) begrenzt wird, maximal sein soll?
154. Wie groß
ist b, wenn der Punkt P die Koordinaten (p,q) hat
und der Flächeninhalt
A des Dreiecks ABC minimal sein soll?
155. Wie
lautet die x-Koordinate eines Punktes P auf f(x), mit
kürzestem Abstand
zum Koordinatenursprung?
156. Wie
lautet die x-Koordinate eines Punktes P auf f(x), mit
kürzestem Abstand
zum Koordinatenursprung?
157. Wie groß
ist das absolute Minimum der Funktion
f(x)
= x³ - 6x² + 3x + 1 im Bereich 1 ≦ x ≦ 4?
158. Wie sind
a) die
Koordinaten für den Punkt A des Rechtecks
mit maximalem
Umfang U, das von der Parabel
f(x)
= 4 - ax² mit a > 0 begrenzt wird?
b) Wie groß
ist a, wenn U 12 LE beträgt?
159. Kanäle
mit solchem Querschnitt werden üblicherweise
aus Beton
gegossen oder aus Metall gefertigt.
Welche Breite
a hat ein solcher Kanal, wenn minimaler
Materialverbrauch
bei gegebenem Flächeninhalt A
gefordert
ist?
160. Ein
Betrieb kann bei einem Verkaufspreis von 20 € und
einem
Selbstkostenpreis von 14 € 10 000 kg einer Ware verkaufen.
Durch
Marktbeobachtung hat er ermittelt, dass er bei einer
Preissenkung
um 0,5 € 1 000 kg mehr verkaufen kann.
Wie oft muss
er den Preis senken, um maximalen Gewinn zu
erzielen? Lösung
161. Für
welches a in der Funktion f(x) = ax - a² wird aus der Geraden
y = 9 die
absolut kleinste Länge d abgeschnitten?
162. Wie groß
ist g, wenn der Flächeninhalt A des Rechtecks,
das durch f(x)
und g(x) begrenzt wird, maximal sein soll?
163. Welchen
maximalen Flächeninhalt A hat das Reckteck unter den
Graphen der
Funktion f(x) = 12 - a²x² für a > 0?
164. Wie
lautet die x-Koordinate des Punktes P auf dem Halbkreis,
beschrieben
durch f(x), wenn das einbeschriebene Rechteck um die
x-Achse
rotiert und der entstehende Zylinder maximales Volumen V
haben soll?
165. An
welcher Stelle x zwischen 1 und 3 ist die Differenz d zwischen
g(x)
und f(x) am größten?
166. Für
welches a zwischen 0 und 3 ist der Flächeninhalt A des
einbeschriebenen
Rechtecks am größten?
167. Für
welches a zwischen 0 und 3 ist der Umfang U des
einbeschriebenen
Rechtecks am größten?
168. Der
zylindrische oben offene 2 l Blechtopf soll so durch
Schweißen aus
der Grund- und der Mantelfläche hergestellt
werden, dass
die Länge l der Schweißnaht minimal wird?
Wie groß ist
l?
169. Wie groß
ist der Radius r des zylindrischen oben offenen
2 l
Blechtopfs, wenn der Materialverbrauch M minimal sein sol?
170. Welche
y-Koordinate hat ein Punkt A auf f(x) = x², der vom
Punkt P(1|2) den kleinsten Abstand d hat? Lösung
171. Welche
x-Koordinate hat ein Punkt A auf f(x) = -2x²+ 4,
der vom Punkt
P(0|0) den kleinsten Abstand d hat?
172. Ein
Betrieb arbeitet mit der Gesamtkostenfunktion
K(x)
= x³ - 10x² + 37x + 102 und der Erlösfunktion
E(x)
= 50x für 0 ≦ x
≦ 11.
a) Wie groß
ist der maximale Gewinn G?
b) Wie groß
ist x im Betriebsoptimum?
c) Wie groß
ist x im Betriebsminimum? Lösung
173. Ein
Betrieb arbeitet mit der Gesamtkostenfunktion
K(x)
= x³ - 6,125x² + 12,5x + 10,25 und der Erlösfunktion
E(x)
= 9,375x
für 0 ≦ x ≦ 6.
Um wieviel GE
müssten die Fixkosten gesenkt werden, damit
bei einem neuen
Verkaufspreis von 8,125 GE/Stück die
Gewinnschwelle
gleichbleibt?
174. Ein
Betrieb arbeitet mit der Gesamtkostenfunktion
K(x)
= 0,05x² + 1 und der Erlösfunktion E(x) = 0,6x für 0 ≦ x ≦ 11.
Bei welcher
Menge x erzielt der Betrieb maximalen Gewinn? Lösung
175. Ein
Betrieb arbeitet mit der Gesamtkostenfunktion
K(x)
= 0,05x² + 0,03x + 1,1 für 0 ≦ x ≦ 9.
Bei welcher
Menge x entsteht das Betriebsoptimum?
176. Ein
Betrieb arbeitet mit der Gesamtkostenfunktion
K(x)
= 0,09x² + 0,09x + 2 für 0 ≦ x ≦ 10.
Bei welcher
Menge x entsteht das Betriebsminimum?
Lösung
177. Wie groß
ist der maximale Gewinn G eines Betriebes,
der Fixkosten
von 3 GE und variable Kosten von
Kv(x)
= 0,0125x³ - 0,0875x² + 0,525xhat, wenn sein Produkt
für 1,25
GE/ME verkauft wird und seine Fixkosten
um 1 GE
gesenkt werden können, 0 ≦ x ≦ 12?
178. Ein
Monopolist berechnet seine Gesamtkosten mit
K(x)
= x³ - 10x² + 56x + 100 für 0 ≦ x ≦ 10.
Seine
Erlösfunktion ist quadratisch und lautet
E(x)
= ax² + bx. Sie hat eine Nullstelle bei x = 12, und
der maximale
Erlös beträgt 432 GE.
a) Bei
welchem Verkaufspreis erzielt der Hersteller
maximalen
Gewinn?
b) Welchen
maximalen Gewinn erzielt er, wenn die Fixkosten
um 50% gesenkt
werden und E(x) = 60x ist?
Lösung
179. Welche
x-Koordinate muss ein Punkt P auf
f(x) = (7/16)x²
+ 2 für 0 ≦ x
≦ 4 haben, wenn der
Flächeninhalt
A des dargestellten Rechtecksmaximal sein soll?
180. Wie groß
ist der Winkel α, wenn der Flächeninhalt A des
Dreiecks
maximal sein soll?
181. Für
welches u wird der Flächeninhalt des Fünfecks ABCDE maximal?
182. Welche
y-Koordinate hat ein Punkt A auf f(x) = 1/x, der
vom Punkt P(0|0) den kleinsten Abstand d hat?
183. Welche
x-Koordinate hat ein Punkt A auf f(x) = √x,
der vom Punkt
P(a|0), a ≧
0,5, den kleinsten Abstand d hat?
184. Wie groß
ist die Breite b eines Balkens, der aus einem
Baumstamm mit
dem Radius r = 50 cm geschnitten wird
und dessen
Tragfähigkeit T = b * h² maximal sein soll?
185. Wie weit
von C entfernt sollte auf dem Kanal ein Schiff die
Fracht
übernehmen, die von A nach C transportiert werden soll,
wenn der
Transport mit Lkw pro km 1,7 mal so teuer wie mit dem
Schiff ist
und die Gesamtkosten K minimal sein sollen?
186. Wie groß
muss der Winkel α an der Grundseite a der
Blechrinne in
Form eines gleichschenkligen Trapezes sein,
wenn sie aus
3 gleich langen Stücken besteht
und die
Querschnittsfläche A der Rinne maximal sein soll?
187. Welche
Länge l darf die Stange höchstens haben, damit man
sie aus der
bebauten Straße a in die bebaute Straße b transportieren
kann.
(Hinweis: Es
wird so getan, als ob die Stange keine Dicke hätte.
Kein
realistisches Modell.)
188. In
welcher Entfernung d sieht ein Betrachter das Bild unter dem
größten
Sehwinkel γ?
189. Die
Schar der Geraden durch die Punkte P(-a,a) und
Q(1-a,1-a)
hüllt eine
Kurve ein.
Wie lautet
deren Funktionsgleichung für 0 ≦ a ≦ 1?
190. Die
Schar der Geraden durch die Punkte P(0,1-a) und Q(a,0)
hüllt eine
Kurve ein.
Wie lautet
deren Funktionsgleichung für a > 0?
191. Die
Schar der Geraden durch die Punkte P(-a,0) und Q(a,2a²)
hüllt eine
Kurve ein.
Wie lautet
deren Funktionsgleichung für 0 ≦ a ≦ 1?
192. Die
Schar der Geraden durch die Punkte P(a,1/a²) und Q(0,3/a²)
hüllt eine
Kurve ein.
Wie lautet
deren Funktionsgleichung für 0 ≦ a ≦ 1?
193. Die
Schar der Geraden durch die Punkte P(1/a²,- 2/a)
und Q(1,a -3/a) hüllt eine Kurve ein.
Wie lautet
deren Funktionsgleichung für 0 ≦ a ≦ 1?
194. Wie
viele Fahrzeuge können pro Stunde mit einer
vorgeschriebenen
Richtgeschwindigkeit in kürzester Zeit
einen
Messpunkt durchfahren, wenn sie einen
Sicherheitsabstand
von 0,5 * (v/100 )² in m einhalten und
die durchschnittliche
Fahrzeuglänge 12 m beträgt? Lösung
195. Von A
fährt ein Radfahrer mit 10 km/h in Richtung
Kreuzung, von
B gleichzeitig einer mit 12 km/h.
Wann ist der
Abstand a zwischen den beiden am geringsten?
196. Wie groß
ist der Mittelpunktswinkel α eines Kreisausschnitts
aus Blech mit
dem Radius r = 20 cm, der zu einem offenen Kegel
mit maximalem
Volumen V gebogen werden soll?
197. Der
Sicherheitsabstand S zweier Autos beträgt für v in km/h
v² v
S(v) = ----- + ---- + 6 m
100 3,6
Für eine
Fahrzeugkolonne, die eine 1 000 m lange Messstrecke
in einer
Stunde durchfährt, gilt die Verkehrsdichte D
1 000 v
D(v) = ----------
S(v)
Wie viele
Fahrzeuge durchfahren diese Messstrecke in einer
Stunde, wenn
die Verkehrsdichte maximal sein soll?
198. Wie weit
von C entfernt sollte auf dem Kanal ein Schiff
die Fracht
übernehmen, die von A nach C transportiert werden
soll, wenn
der Transport mit einem Schiff 80% der Lkw-Kosten
beträgt und
die Gesamtkosten K minimal sein sollen?
(Siehe
Aufgabe 185)
199. Wie groß
darf eine Strömungsgeschwindigkeit vS sein,
damit ein
Boot mit der Eigengeschwindigkeit von 10 m/s 500 m
it und 180 m
gegen die Strömung in kürzester Zeit t zurücklegt?
200. Wie groß ist der kürzeste Abstand d
des Punktes P von
einem Punkt Q
auf f(x)?
201. Wie groß
ist der kürzeste Abstand d des Punktes P von
einem Punkt Q
auf f(x)?
202. Wie groß
ist der kürzeste Abstand d des Punktes P von
einem Punkt Q
bzw. Q' auf f(x)?
203. Wie groß
ist der kürzeste Abstand d zwischen f(x) und g(x)?
204. Für
welche x-Koordinate von Q wird der Fächeninhalt A
des Dreiecks
PQR am größten?
205. Für
welche x-Koordinate des Punktes B ist der
Flächeninhalt
A des rechtwinkligen Dreiecks ABC
am größten?
206. Welche
Höhe h hat das einbeschriebene Rechteck
mit maximalem
Flächeninhalt A?
207. Für
welche x-Koordinate des Punktes Q ist der
Flächeninhalt
des rechtwinkligen Dreiecks PQR am
größten?
208. Wie groß
ist die Seite BC des einbeschriebenen
Dreiecks,
wenn der Flächeninhalt A maximal sein soll?
209. Für
welche x-Koordinate des Punktes B ist der
Flächeninhalt
A des rechtwinkligen Dreiecks ABC am
größten?
210. Ein Getränkehersteller
bietet in diesen geschlossenen
zylindrischen
Metalldosen Saft an.
Aus
Hygienegründen wird die gesamte Innenfläche beschichtet.
Wie groß ist
der Radius r der Dose, wenn die Innenfläche
minimal sein
soll und in den zylindrischen Teil 0,55 l passen?
211. Wie groß
ist die Höhe h der Dreiecke (blau), die aus dem
quadratischen
Blech ausgeschnitten werden, wenn die danach
gebogene
quadratische Pyramide (rot) maximales Volumen V
haben soll?
212. Ein
Fußgänger befindet sich in Punkt A in unwegsamem
Gelände und
will nach D, das an der ausgebauten Straße von B
aus liegt. Im
Gelände schafft er 4 km/h, auf der Staße 6 km/h.
Wie weit von
B entfernt sollte er C erreichen, damit er in kürzester
Zeit am Ziel
ist?
213. Haus F
soll von A aus an eine Versorgungsleitung
angeschlossen
werden. Die Verlegung kostet auf der Straße
von A nach C
72 €/m, im Gelände 90 €/m.
Wie weit von
A entfernt muss der Abzweig B liegen,
wenn die
Kosten K minimal sein sollen?
214. Zwischen
D und E verläuft eine Bahnstrecke. Die Orte
A und C
sollen an diese Bahnlinie angebunden werden.
Wie weit von D
entfernt soll der zukünftige Bahnhof B
liegen, wenn
die Strecke ABC am kürzesten sein soll?
215. Wie weit
ist der Punkt B von D entfernt, wenn bei
gegebener
Geschwindigkeit v die Strecke von A nach C
in der
kürzesten Zeit t zurückgelegt werden soll?
216. Ein
Fußgänger geht von A aus mit einer Geschwindigkeit
von 0,2 m/s
auf S zu, ein anderer von B aus mit 0,3 m/s.
Nach welcher
Zeit t ist die Entfernung zwischen
den beiden am
kleinsten?
