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Extremwertaufgaben

 

1. Wie muss man die Zahl 100 so in die Summanden x und y zerlegen,

dass die Summe S von deren Quadraten am kleinsten wird?       Lösung

 

2. Wie muss man die Zahl 500 so in die Summanden x und y zerlegen,

dass deren Produkt P am größten wird?

 

3. Welche beiden reellen Zahlen x und y, deren Differenz 1 beträgt,

haben das kleinste Produkt P?      Lösung

 

4. Berechnen Sie die kleinstmögliche Summe S aus einer positiven Zahl x

und ihrem Kehrwert.

 

5. Für welchen echten Bruch ist die Differenz D mit seinem

Quadrat am größten?        Lösung

 

6. Einem Dreieck mit der Grundlinie c und der Höhe h soll das

größtmögliche Parallelogramm einbeschrieben werden.

Wie groß ist dessen Grundlinie g?

 

 

7. Wie groß ist die Länge l des größtmöglichen Rechtecks,

das einem gleichschenkligen Dreieck mit der Schenkellänge 10 cm

und einer Höhe von 6 cm einbeschrieben wird?

 

  Lösung

 

8. Wie groß ist der maximale Flächeninhalt A des Rechtecks,

das mit einem 40 m langen Zaun und einer Hauswand als Begrenzung,

hergestellt werden kann?

 

 

9. Aus einem Zaun mit einer Länge von x m soll ein Rechteck so

gebildet werden, dass sein Flächeninhalt maximal wird.

Wie lang ist dessen größere Seite l?

 

   Lösung

 

10. Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind zusammen

15 cm lang.

Wie groß darf die kleinere sein, wenn die kleinstmögliche

Hypotenuse entstehen soll?

 

11. Für welches a wird der Flächeninhalt A des einbeschriebenen

Rechtecks maximalt?

 

    Lösung

 

12. Die Tragfähigkeit T eines rechteckigen Balkens mit der

Breite b und der Höhe h wird mit T = (b * h²)/6 berechnet.

Ein Balken wird aus einem runden Baumstamm mit dem

Durchmesser d gesägt.

Wie groß ist b in Abhängigkeit von d, wenn die Tragfähigkeit

maximal sein soll?

13. Ein Fenster hat die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem

Halbkreis.

Wie groß muss der Durchmesser d des Halbkreises sein, damit

bei gegebenem Fensterumfang U die Fläche am größten wird?

 

   Lösung

 

14. Wie groß ist die längere Seite b des in die Raute

einbeschriebenen Rechtecks, wenn sein Flächeninhalt A

maximal sein soll?

 

 

15. Wie groß ist die Seite x des in das gleichseitige Dreieck

einbeschriebenen Parallelogramms, wenn dessen Flächeninhalt A

maximal sein soll?    Lösung

 

 

16. Wie groß ist eine Seite a des einbeschriebenen Quadrates,

wenn sein Flächeninhalt am kleinsten sein soll?

 

 

17. Wie groß ist der maximale Flächeninhalt A des dem

gleichschenkligen Dreieck einbeschriebenen Rechtecks?

 

  Lösung

 

18. Wie groß ist die Höhe h des einbeschriebenen gleichschenkligen

Trapezes, wenn sein Flächeninhalt A maximal sein soll und der

Radius r gegeben ist?         

 

 

19. Wie groß ist bei gegebenem Umfang U die längere Seite a

eines Rechtecks, wenn sein Flächeninhalt A maximal sein soll?     Lösung

 

20. Wie groß ist bei gegebenem Flächeninhalt A die kürzere

Seite b eines Rechtecks, wenn sein Umfang U minimal sein soll?

 

21. Einem gleichseitigen Dreieck mit der Seite a ist ein Rechteck

einbeschrieben.

Wie lang müssen die Rechteckseiten x und y werden, damit sein

Flächeninhalt maximal wird?      Lösung

 

22. Wie groß ist die Höhe y des einbeschriebenen gleichschenkligen

Dreiecks, wenn h und c gegeben sind und seine Spitze auf dem

Mittelpunkt von c liegt?

 

 

23. Es gibt viele Rechtecke, deren Diagonale d gleich lang ist.

Welche Seitenlänge a hat das mit dem größten Flächeninhalt?

 

   Lösung

 

24. Es gibt viele Rechtecke, deren Diagonale d gleich lang ist.

Welche Seitenlänge b hat das mit dem größten Umfang?

 

 

25.  Wie groß ist ein Schenkel a eines gleichschenkligen

Dreiecks, dessen Flächeninhalt A bei gegebenem Umfang

U am größten ist?    Lösung

 

26. In das Quadrat mit der bekannten Seite a ist ein Quadrat

einbeschrieben.

Wie lang ist dessen Seite b, wenn sein Flächeninhalt A minimal

sein soll?

 

 

27. Wie groß ist die Hypotenuse c, wenn der Flächeninhalt A des

rechtwinkligen Dreiecks ABC, dessen Katheten den Halbkreis von

außen berühren, minimal sein soll?

   Lösung

 

28. Wie groß ist der Durchmesser a des aufgesetzten Halbkreises,

wenn der Flächeninhalt A des Fensters bei bekanntem Umfang U

maximal sein soll?              

29. Die Stadionfläche ohne Laufbahn habe einen Umfang U = 400 m.

Welche Länge l muss das rechteckige Fußballfeld haben, damit es am

größten wird?

 

   Lösung

 

30. Der Abwasserkanal hat eine Querschnittsfläche A von 3 m².

Wie groß ist der Radius r des aufgesetzten Halbkreises, wenn

der Umfang U minimal sein soll?

 

 

31. Wie lautet die größere Zahl x von 2 reellen Zahlen,

die sich um 1 unterscheiden und deren Produkt P am

kleinsten wird?   Lösung

 

32. Für welche positive Zahl x wird die Summe S aus dieser

Zahl und ihrem Kehrwert am kleinsten?

 

33. Welchen maximalen Flächeninhalt A hat ein rechteckiges

Grundstück mit einem Umfang U von 6 km?     Lösung

 

34. Für welches x wird die Summe S von f(x) = 0,5x² + 2 und

g(x) = x² - 2x + 2 minimal, wenn x nicht kleiner als 0 und nicht

größer als 4 sein soll?

 

35. Für welches x wird die Differenz D von f(x) = 0,5x² + 2 und

g(x) = x² - 2x + 2 maximal, wenn x nicht kleiner als 0 und

nicht größer als 4 sein soll?     Lösung

 

36. Für welches x wird das Produkt P von f(x) = 0,5x² + 2 und

g(x) = x² - 2x + 2 minimal, wenn x nicht kleiner als 0 und nicht

größer als 4 sein soll?

 

37. Welche maximale Fläche A entsteht, wenn der Zaun des

Geheges 25 m lang ist?

 

   Lösung

 

38. Wie lang ist die kürzeste Diagonale d aller Rechtecke mit einem

Umfang von 30 cm?

 

39. Wie viel cm liegt P von B entfernt, wenn M auf der Mitte

von DC liegt, QR und OP parallel zu AM verlaufen und die

Fläche des einbeschriebenen Parallelogramms am größten sein soll?

 

   Lösung

 

40. Einem Kreis mit dem Radius r = 10 cm ist ein Rechteck

einbeschrieben.

Wie groß ist dessen maximaler Umfang U?

 

 

41. Wie groß ist die maximale Fläche A des eingefügten Rechtecks?

 

   Lösung

 

42. Wie groß ist die maximale Fläche A des eingefügten Rechtecks?

 

43. Wie groß ist die maximale Fläche A des eingefügten Rechtecks,

wenn der Abstand zu den Begrenzungen 3 m betragen soll?    

 

   Lösung

 

44. Wie groß ist die maximale Fläche A des eingefügten Rechtecks,

wenn der Abstand zu den Begrenzungen 3 m betragen soll?

 

 

45. Aus der Platte mit der abgesprungenen Ecke soll zur

Schadensbegrenzung das größtmögliche Rechteck

herausgearbeitet werden.

Wie groß ist dessen Flächeninhalt A?

 

    Lösung

 

46. Die in das Zylindergehäuse mit dem Radius r eingesetzte

kreuzförmige Spule soll eine maximale Querschnittsfläche

bekommen.

Wie groß ist dabei die Länge a zu wählen?

 

 

47. Wird die kürzere Seite b eines Rechtecks um den Betrag x

verlängert und die längere Seite a um den gleichen Betrag

verkürzt, so entsteht ein neues Rechteck?

Wie groß ist dessen maximale Fläche A?

 

   Lösung

 

48. Wie groß ist der maximale Flächeninhalt A des

Dreiecks DEF, wenn EF parallel zu AB verläuft?

 

 

49. Ein Dreieck habe maximalen Flächeninhalt A.

Welche Länge hat seine Grundseite g, wenn s die Summe

aus der Grundseite und der Höhe h ist?    Lösung

 

50. Wie lang ist die kürzere Kathete a in einem

rechtwinkligen Dreieck, wenn die Hypotenuse g minimal

und s gleich der Summe der beiden Kathetenlängen ist?

 

51. Die Gerade durch den Punkt Q soll so verlaufen, dass der

Flächeninhalt des abgeschnittenen rechtwinkligen Dreiecks ABC

minimal wird?

Wie lang ist dann der Achsenabschnitt m?

 

    Lösung

 

52. Die Gerade durch den Punkt Q soll so verlaufen, dass die

Summe s der Achsenabschnitte minimal wird.

Wie groß ist s?

 

 

53. Wie groß ist der minimale Flächeninhalt A des rechtwinkligen

Dreiecks, das um den Halbkreis mit dem Radius r gezeichnet wird?

 

  Lösung

 

54. Für welchen Winkel α wird die Fläche A des gleichschenkligen

Trapezes maximal?

 

 

55. Wie groß ist der kleinere Teil x einer Strecke a, wenn die Summe

aus dem Quadrat der größeren Teilstrecke und dem doppelten

Quadrat der kleineren am kleinsten sein soll?     Lösung

 

56. Eine Strecke a ist so zu teilen, dass das Rechteck aus den

Teilstrecken x und y am größten wird.

Wie groß sind x und y?

 

57. Die Summe der beiden Katheten x und y eines rechtwinkligen

Dreiecks sei s. Wie groß sind x und y, wenn die Hypotenuse c minimal

sein soll?     Lösung

 

58. Aus einer Strecke s soll ein gleichschenkliges Dreieck so geformt

werden, dass dessen Fläche A maximal wird.

Wie groß ist die Grundseite c des Dreiecks?

 

59. Wie groß ist die Höhe h des in das gleichschenklige Dreieck

einbeschriebenen größten Parallelogramms, wenn y und c gegeben

sind?

 

    Lösung

 

60. Der Ellipse mit gegebenem a und b soll ein größtmögliches

Rechteck einbeschrieben werden?

Wie groß ist x?

 

 

61. Der Ellipse mit gegebenem a und b soll ein größtmögliches

gleichschenkliges Dreieck einbeschrieben werden?

Wie groß ist g?

 

   Lösung

 

62. Der Ellipse mit gegebenem a und b soll ein größtmögliches

gleichschenkliges Dreieck einbeschrieben werden?

Wie groß ist h?

 

 

63. Wie lang ist die Kathete b des in den Halbkreis mit dem Radius r

eingefügten rechtwinkligen Dreiecks, wenn dessen Fläche A maximal

sein soll?

 

    Lösung

 

64. Wie lang ist die Grundseite g des in den Halbkreis mit dem

Radius r eingefügten Dreiecks, wenn dessen Fläche A maximal

sein soll?

 

 

65. Wie lang ist die parallele Seite c des in den Halbkreis mit dem

Radius r eingefügten gleichschenkligen Trapezes, wenn dessen

Fläche A maximal sein soll?

   Lösung

 

66. Wie lang ist die Seite a des in den Halbkreis mit dem

Radius r einbeschriebenen Rechtecks, wenn dessen Fläche A

maximal sein soll?

 

 

67. Wie lang ist die Seite a des in den Halbkreis mit dem

Radius r einbeschriebenen Rechtecks, wenn dessen Umfang U

maximal sein soll?

 

   Lösung

 

68. Bei welchem Radius r wird der Kreisausschnitt mit dem

Umfang U maximal?

 

69. Wie weit muss P von M₁ entfernt sein, damit die Summe s der

beiden Tangenten a und b am größten wird?

 

   Lösung

 

70. Dem Quadrat mit der Seite a ist das gleichschenklige Dreieck

so umschrieben, dass sein Flächeninhalt A minimal wird.

Wie groß ist seine Höhe h?

 

 

71. Dem Halbkreis mit dem Radius r ist das gleichschenklige

Dreieck so umschrieben, dass sein Flächeninhalt A minimal wird.

Wie groß ist seine Höhe h?

 

    Lösung

 

72. Dem Halbkreis mit dem Radius r ist das gleichschenklige

Dreieck so umschrieben, dass sein Schenkel s minimal wird.

Wie groß ist s?

 

 

73. Die Raute umschreibt einen Kreis mit dem Radius r.

Wie groß ist eine Seite s der Raute, wenn ihr Flächeninhalt A

minimal sein soll?

 

   Lösung

 

74. Aus dem quadratischen Blech sollen die 4 Ecken so

abgeschnitten werden, dass ein Kasten mit größtem Volumen V

entsteht.

Wie groß ist x?

 

 

75. Welchen Durchmesser d hat ein Zylinder mit maximalem

Volumen V, der in den Kegel mit dem Durchmesser d₁ und der

Höhe h₁ eingesetzt werden kann?

 

    Lösung

 

76. Eine geschlossene zylindrische Dose mit vorgegebenem

Volumen V soll mit dem geringsten Materialbedarf A hergestellt

werden.

Welche Höhe h hat diese Dose?

 

77. Wie groß ist das maximale Volumen V eines geschlossenen

Behälters, der aus dieser Blechtafel hergestellt werden kann?

 

    Lösung

 

78. Welche Höhe h hat der Quader mit quadratischer Grundfläche,

der der gegebenen quadratischen Pyramide einbeschrieben ist,

wenn sein Volumen V maximal sein soll?

 

 

79. Durch den Kanal fließt Wasser.

Wie groß muss l sein, wenn bei gegebenem Querschnitt A

die benetzte Länge u am kleinsten sein soll?

 

    Lösung

 

80. Wie groß ist das maximale Volumen V eines

Quadermodells, mit einer Grundfläche, deren eine

Seite dreimal so groß ist wie die andere und das

aus einem 120 cm langen Draht hergestellt wird?

 

81. Wie groß ist das maximale Volumen V eines

Quaders mit quadratischer Grundfläche

und einer Oberfläche von 240 cm²?    Lösung

 

82. Aus dem rechteckigen Blech sollen die 4 Ecken

so abgeschnitten werden, dass ein oben offener

Kasten mit größtem Volumen V entsteht.

Wie groß ist x?

 

 

83. Das rechtwinklige Dreieck dreht sich um eine Kathete

und erzeugt so einen Kegel.

Für welches a hat dieser Kegel größtes Volumen V?

 

   Lösung

 

84. Dem Kegel wird ein Zylinder mit maximalem Volumen V

einbeschrieben.

Wie groß ist V?

 

 

85. Dem Kegel wird ein Kegel mit der Spitze mittig nach unten und maximalem

Volumen V einbeschrieben. Wie groß ist V?

 

   Lösung

 

86. Wie groß ist der Radius r des in die Kugel

einbeschriebenen Zylinders mit maximalem Volumen?

 

 

87. Wie groß ist die Höhe h des in die Kugel einbeschriebenen

Kegels mit maximalem Volumen und der Spitze nach unten?

 

     Lösung

 

88. Wie groß ist die Seitenlänge x eines Quaders mit

quadratischer Grundfläche und maximalem Volumen V,

der einer quadratischen Pyramide mit der Grundseite g

und der Höhe h₁ einbeschrieben ist?

 

 

89. Wie muss sich der Durchmesser des Zylinders zu seiner

Länge verhalten, wenn der Abstand e zu der mittigen Öffnung

im Zylinder vorgegeben ist und sein Volumen maximal sein soll?

 

    Lösung

 

90. Welche Höhe h hat ein Zylinder, der bei gegebenem Volumen V

eine minimale Oberfläche O hat?

 

91. Welchen Radius r hat ein Zylinder, der bei gegebenem

Oberflächeninhalt O maximales Volumen V hat?     Lösung

 

92.  Welche Höhe hat ein Kegel, der bei gegebener

Mantellinie s maximales Volumen hat?

 

 

93. Wie groß ist der Grundkreisradius x des Zylinders, der

dem Kegel mit dem Radius r und der Höhe h einbeschrieben

ist und dessen Oberfläche O maximal sein soll?

 

    Lösung

 

94. Wie groß ist die Höhe y des Zylinders, der dem Kegel

mit dem Radius r und der Höhe h einbeschrieben ist und

dessen Mantelfläche M maximal sein soll?

 

 

95.  Wie groß ist die Höhe h des Zylinders, der der Kugel

mit dem Radius r einbeschrieben ist und dessen Oberfläche O

maximal sein soll?

 

   Lösung

 

96. Wie groß ist der Radius x des Zylinders, der der Kugel

mit dem Radius r einbeschrieben ist und dessen Mantelfläche M

maximal sein soll?

 

97. Wie groß ist die Höhe h eines Zylinders mit maximalem

Volumen V, der einer Halbkugel mit dem Radius r einbeschrieben

wird?                  

 

    Lösung

 

98. Wie groß ist die Grundseite a einer Dose mit quadratischer

Grundfläche und dem Volumen V, wenn ihre Oberfläche O

minimal sein soll?

 

99. Wie groß ist die Seite x der abgeschnittenen Ecken

(bei gebenen a und b), wenn durch Umformung eine oben

offene Schachtel mit maximalem Volumen entstehen soll?

 

    Lösung

 

100. Wie groß ist der Radius r eines zylinderförmigen Bechers,

wenn er bei gegebenem Volumen V den minimalen Blechbedarf hat?

 

101. Wie groß ist der Radius r eines Zylinders mit aufgesetzter

Halbkugel, der bei gegebenem Oberflächeninhalt O maximales

Volumen V hat?    Lösung

 

102. Welche Länge l hat ein Zylinder, wenn die Summe aus l

und dem Grundkreisdurchmesser d 100 cm beträgt und sein

Volumen V maximal ist?

 

103. Ein oben offener Karton mit quadratischer Grundfläche

hat ein Volumen von 10 cm³.

Wie groß ist seine Höhe h, wenn seine Oberfläche O minimal

sein soll?     Lösung

 

104. Aus dem Karton entsteht durch Ausschneiden von

6 Quadraten und Biegen eine Schachtel, deren Deckel an

3 Seiten überlappt.

Welche Höhe h hat diese Schachtel, wenn ihr Volumen V

maximal sein soll?

 

105. Wie groß ist die Grundseite x der Rinne, wenn sie

maximales Volumen V fasssen soll?

 

   Lösung

 

106. Wie groß ist die Seite a des ausgeschnittenen Sterns,

wenn das Volumen V der durch Biegen entstehenden

quadratischen Pyramide maximal sein soll?

 

 

107. Wie groß ist der Winkel φ des Kegels, der der Kugel mit

dem gegebenen Radius R einbeschrieben ist, wenn sein

Volumen V maximal sein soll?

 

    Lösung

 

108. Wie groß ist die Höhe h eines oben offenen Kegels, der

eine Mantellinie s von 10 cm hat und dessen Volumen V

maximal sein soll?

 

109. Eine oben offene Schachtel ist 5 cm lang, 3,5 cm breit

und 1,2 cm hoch.

Wie viel Prozent beträgt die Materialersparnis, wenn bei gleicher

Länge l und Volumen V ihr Oberflächeninhalt O minimal ist?     Lösung

 

110. Für einen Zylinder gilt: Länge l + 2 * Durchmesser d = 104 cm.

Wie groß ist l, wenn l nicht kleiner als 10 und größer als 90 cm

und das Volumen V maximal sein soll?

 

111. In welcher Höhe h muss eine Lampe vertikal und mittig

über dem Tisch mit dem Radius r angebracht sein, damit

die Lichtstärke L = k * sin φ/l² mit k = konstant im Punkt A

maximal ist?

 

    Lösung

 

112. Wie groß ist das maximale Volumen V des abgebildeten Behälters,

bestehend aus einem Kegel und aufgesetztem Zylinder?

 

 

113. Ein Rechteck mit dem Umfang a rotiert um eine seiner Seiten.

Wie groß ist die kleinere Seite x der Rechteckseiten x und y,

wenn das entstehende Zylindervolumen V maximal sein soll?     Lösung

 

114. Ein Rechteck mit dem Umfang a rotiert um eine seiner Seiten.

Wie groß sind die beiden Rechteckseiten x und y, wenn die entstehende

Mantelfläche M maximal sein soll?

 

115. Welche Höhe h hat eine quadratische Pyramide mit einer Seitenlänge

von 3 m, wenn ihr Volumen V maximal sein soll?    Lösung

 

116. Wie groß ist der Winkel α, wenn aus dem Kreisausschnitt mit dem

Radius r = 20 cm ein Kegel mit maximalem Volumen entstehen soll?

 

 

 

117. Welche Höhe h hat ein Kegel, der auf einen Zylinder mit

gleichem Grundkreisradius r aufgesetzt ist, wenn die Höhe

h = 2/3 r und das Gesamtvolumen V = 6π betragen und

die Gesamtoberfläche O minimal sein soll?

 

    Lösung

 

118. Wie groß ist die Höhe x eines rechtwinkligen Dreiecks mit

der Hypotenuse c = 10 cm, das sich um die Hypotenuse dreht,

2 Kegel erzeugt und deren Volumen V maximal sein soll?

 

119. Der Punkt P hat einen Abstand x vom Schenkel a und y

vom Schenkel b des rechtwinkligen Dreiecks ABC.

Wie lang ist der Schenkel a, wenn die Länge l der Strecke BC

minimal sein soll?

 

    Lösung

 

120. Wie groß ist der Abstand x der in die Kugel mit dem Radius r

einbeschriebenen regelmaßigen Pyramide mit quadratischer

Grundfläche, wenn ihr Volumen V maximal sein soll?

 

   

 

121. Wie groß ist die Höhe h der in die Halbkugel mit dem Radius r

einbeschriebenen quadratischen Pyramide, wenn deren Volumen V

maximal sein soll?

 

   Lösung

 

122. Wie groß ist die Höhe h eines Kegels, der bei gegebener

Oberfläche O maximales Volumen V hat?

 

123. Wie groß ist die Höhe h eines Kegels, der bei gegebenem

Volumen V eine minimale Oberfläche O hat?    Lösung

 

124. Wie groß ist die Grundseite a einer quadratischen Pyramide,

wenn bei gegebener Oberfläche O, ihr Volumen V maximal sein soll?

 

125. Wie groß ist die Höhe h einer quadratischen Pyramide,

wenn bei gegebenem Volumen V, ihre Oberfläche O minimal

sein soll?    Lösung

                                          

126. Wie groß ist der Grundkreisradius g eines Kegels,

der einer Kugel mit dem Radius r umschrieben ist und dessen

Volumen V minimal sein soll?

 

127. Wie groß ist der Grundkreisradius g eines Kegels,

der einer Kugel mit dem Radius r umschrieben ist und dessen

Oberfläche O minimal sein soll?    Lösung

 

128. Wie groß ist der Grundkreisradius g eines Kegels,

der einer Kugel mit dem Radius r umschrieben ist und

dessen Mantelfläche M minimal sein soll?

 

129. Wie groß ist die Höhe h eines Kegels,

der einer Halbkugel mit dem Radius r umschrieben ist und

dessen Volumen V minimal sein soll?     Lösung

 

130. Wie groß ist die Höhe h eines Kegels, der einer Halbkugel

mit dem Radius r umschrieben ist und dessen Mantelfläche M

minimal sein soll?

 

131. Wie groß ist der Radius g des in die Kugel mit dem Radius r

einbeschriebenen Zylinders mit aufgesetzten Kegeln, wenn deren

Gesamtvolumen V maximal sein soll?

 

    Lösung

 

132. Wie groß ist die Höhe h des Dreiecks, das dem Quadrat mit der

Seite a umschrieben ist, wenn das Volumen V des Körpers,

der um 2r rotiert, minimal sein soll?

 

 

133. Wie groß ist OA, damit die Gerade durch den gegebenen

Punkt P ein Dreieck OAB mit minimalem Flächeninhalt A ausschneidet?

 

    Lösung

 

134. Welche Breite b hat ein rechteckiger Balken, der aus einem

Baumstamm mit dem Durchmesser d geschnitten wird und dessen

Widerstandsmoment W = (1/σ) * lb² maximal sein soll?

 

    Lösung

 

135. Wie groß ist der Durchmesser d einer Dose, wenn bei gegebenem

Volumen V der Materialverbrauch minimal sein soll?

 

 

136. Welche Höhe h hat das Reckteck mit maximalem Flächeninhalt A

zwischen der dargestellten Funktion f(x) = 8x - x²?

 

    Lösung

 

137. Bei welcher Stückzahl x sind die Stückkosten k(x) minimal,

wenn ein Betrieb mit der Gesamtkostenfunktion

K(x) = x³ - 9x² + 40x + 25 arbeitet?

 

138. Bei welcher Stückzahl x sind die variablen Stückkosten kv(x)

minimal, wenn ein Betrieb mit der Gesamtkostenfunktion

K(x) = x³ - 9x² + 40x + 25 arbeitet?     Lösung

 

139. Bei welcher Stückzahl x ist der Gewinn G maximal, wenn ein

Betrieb mit der Gesamtkostenfunktion K(x) = x³ - 9x² + 40x + 25

und der Erlösfunktion E(x) = 40x arbeitet?

 

140. Wie groß ist die Breite b eines oben offenen quaderförmigen

Behälters, wenn er aus 4,8 m langem Winkeleisen hergestellt,

seine Breite und die Länge l sich wie 2 : 3 verhalten und sein

Volumen V maximal sein soll?     Lösung

 

141. Wie groß ist der kürzeste Abstand a eines Punktes auf dem

Graphen der Funktion f(x) = x² + 1 vom Graphen der Funktion

g(x) = x - 1?

 

142. Wie groß ist die Seite a des Rechtecks, wenn es von den

Funktionen f(x) = x und g(x) = 3 - x/2 begrenzt wird und sein

Flächeninhalt A maximal sein soll?

    Lösung

 

143.  Wie groß ist die Seite a des Rechtecks, wenn es von

den Funktionen f(x) = 2 - x/2 und g(x) =  begrenzt wird

und sein Flächeninhalt A maximal sein soll?

 

 

144. Wie groß ist die Seite a des Rechtecks, wenn es von

den Funktionen f(x) = 2 - x/2 und g(x) =  begrenzt wird

und sein Umfang U maximal

sein soll?

 

    Lösung

 

145. Bei welcher Stückzahl x sind a) die Stückkosten k(x) minimal und

b) der Gewinn G(x) maximal, wenn ein Betrieb mit der Gesamtkostenfunktion

K(x) = x³/2 - 1,5x² + 2x + 18 und der Erlösfunktion E(x) = 10x arbeitet?

 

146. Ein Betrieb arbeitet mit der Kostenfunktion

K(x) = 0,1x³ - 2x² + 30x + 175. Für welche Erlösfunktion der Form

E(x) = m * x ist der Gewinn G gleich Null?       Lösung

 

147. Ein Betrieb arbeitet mit der Kostenfunktion K(x) = 1,5x + 40 und

der Erlösfunktion E(x) = 19,5x - x².

a) Welche Koordinaten hat der Cournotsche Punkt?

b) Bei welcher Menge x liegt die Gewinngrenze?

 

148. Welchen maximalen Umfang U hat das Reckteck unter dem

Graphen der Funktion f(x) = 6 - 0,25x²?

 

     Lösung

 

149. Welchen maximalen Flächeninhalt A hat das Reckteck unter

dem Graphen der Funktion f(x) = 6 - 0,25x²?

 

 

150. Geraden der Form f(x) = ax - a² schneiden von der Geraden

x = 6 Stücke der Länge l ab, die über der x-Achse liegen.

Für welches a wird dieses Stück am größten, wenn 0 < a < 6 ist?     Lösung

  

151. Geraden der Form f(x) = ax - a² erzeugen mit der Geraden

x = 6 oberhalb der x-Achse Dreiecke mit dem Flächeninhalt A.

Für welches a wird dieses Dreieck am größten, wenn 0 < a < 6 ist?

 

152. Wie groß ist x, wenn der Flächeninhalt A des Rechtecks, das

durch f(x) und g(x) begrenzt wird, maximal sein soll?

 

    Lösung

 

153. Wie groß ist x, wenn der Umfang U des Rechtecks, das durch

f(x) und g(x) begrenzt wird, maximal sein soll?

 

 

154. Wie groß ist b, wenn der Punkt P die Koordinaten (p,q) hat

und der Flächeninhalt A des Dreiecks ABC minimal sein soll?

 

     Lösung

 

155. Wie lautet die x-Koordinate eines Punktes P auf f(x), mit

kürzestem Abstand zum Koordinatenursprung?

 

 

156. Wie lautet die x-Koordinate eines Punktes P auf f(x), mit

kürzestem Abstand zum Koordinatenursprung?

 

     Lösung

 

157. Wie groß ist das absolute Minimum der Funktion

f(x) = x³ - 6x² + 3x + 1 im Bereich 1 x 4?

 

158. Wie sind

a) die Koordinaten für den Punkt A des Rechtecks

mit maximalem Umfang U, das von der Parabel

f(x) = 4 - ax² mit a > 0 begrenzt wird?

b) Wie groß ist a, wenn U 12 LE beträgt?

 

   Lösung

 

159. Kanäle mit solchem Querschnitt werden üblicherweise

aus Beton gegossen oder aus Metall gefertigt.

Welche Breite a hat ein solcher Kanal, wenn minimaler

Materialverbrauch bei gegebenem Flächeninhalt A

gefordert ist?

 

 

160. Ein Betrieb kann bei einem Verkaufspreis von 20 € und

einem Selbstkostenpreis von 14 € 10 000 kg einer Ware verkaufen.

Durch Marktbeobachtung hat er ermittelt, dass er bei einer

Preissenkung um 0,5 € 1 000 kg mehr verkaufen kann.

Wie oft muss er den Preis senken, um maximalen Gewinn zu

erzielen?     Lösung

 

161. Für welches a in der Funktion f(x) = ax - a² wird aus der Geraden

y = 9 die absolut kleinste Länge d abgeschnitten?

 

 

162. Wie groß ist g, wenn der Flächeninhalt A des Rechtecks,

das durch f(x) und g(x) begrenzt wird, maximal sein soll?

 

    Lösung

 

163. Welchen maximalen Flächeninhalt A hat das Reckteck unter den

Graphen der Funktion f(x) = 12 - a²x² für a > 0?

 

 

164. Wie lautet die x-Koordinate des Punktes P auf dem Halbkreis,

beschrieben durch f(x), wenn das einbeschriebene Rechteck um die

x-Achse rotiert und der entstehende Zylinder maximales Volumen V

haben soll?

 

    Lösung

 

165. An welcher Stelle x zwischen 1 und 3 ist die Differenz d zwischen

g(x) und f(x) am größten?

 

 

166. Für welches a zwischen 0 und 3 ist der Flächeninhalt A des

einbeschriebenen Rechtecks am größten?

 

     Lösung

 

167. Für welches a zwischen 0 und 3 ist der Umfang U des

einbeschriebenen Rechtecks am größten?

 

 

168. Der zylindrische oben offene 2 l Blechtopf soll so durch

Schweißen aus der Grund- und der Mantelfläche hergestellt

werden, dass die Länge l der Schweißnaht minimal wird?

Wie groß ist l?

 

   Lösung

 

169. Wie groß ist der Radius r des zylindrischen oben offenen

2 l Blechtopfs, wenn der Materialverbrauch M minimal sein sol?

 

 

170. Welche y-Koordinate hat ein Punkt A auf f(x) = x², der vom

Punkt P(1|2) den kleinsten Abstand d hat?     Lösung

 

171. Welche x-Koordinate hat ein Punkt A auf f(x) = -2x²+ 4,

der vom Punkt P(0|0) den kleinsten Abstand d hat?

 

172. Ein Betrieb arbeitet mit der Gesamtkostenfunktion

K(x) = x³ - 10x² + 37x + 102 und der Erlösfunktion

E(x) = 50x für 0 x 11.

a) Wie groß ist der maximale Gewinn G?

b) Wie groß ist x im Betriebsoptimum?

c) Wie groß ist x im Betriebsminimum?     Lösung

 

173. Ein Betrieb arbeitet mit der Gesamtkostenfunktion

K(x) = x³ - 6,125x² + 12,5x + 10,25 und der Erlösfunktion

E(x) = 9,375x

für 0 x 6.

Um wieviel GE müssten die Fixkosten gesenkt werden, damit

bei einem neuen Verkaufspreis von 8,125 GE/Stück die

Gewinnschwelle gleichbleibt?

 

174. Ein Betrieb arbeitet mit der Gesamtkostenfunktion

K(x) = 0,05x² + 1 und der Erlösfunktion E(x) = 0,6x für 0 x 11.

Bei welcher Menge x erzielt der Betrieb maximalen Gewinn?     Lösung

 

175. Ein Betrieb arbeitet mit der Gesamtkostenfunktion

K(x) = 0,05x² + 0,03x + 1,1 für 0 x 9.

Bei welcher Menge x entsteht das Betriebsoptimum?

 

176. Ein Betrieb arbeitet mit der Gesamtkostenfunktion

K(x) = 0,09x² + 0,09x + 2 für 0 x 10.

Bei welcher Menge x entsteht das Betriebsminimum?     Lösung

 

177. Wie groß ist der maximale Gewinn G eines Betriebes,

der Fixkosten von 3 GE und variable Kosten von

Kv(x) = 0,0125x³ - 0,0875x² + 0,525xhat, wenn sein Produkt

für 1,25 GE/ME verkauft wird und seine Fixkosten

um 1 GE gesenkt werden können, 0 x 12? 

 

178. Ein Monopolist berechnet seine Gesamtkosten mit

K(x) = x³ - 10x² + 56x + 100 für 0 x 10.

Seine Erlösfunktion ist quadratisch und lautet

E(x) = ax² + bx. Sie hat eine Nullstelle bei x = 12, und

der maximale Erlös beträgt 432 GE.

a) Bei welchem Verkaufspreis erzielt der Hersteller

maximalen Gewinn?

b) Welchen maximalen Gewinn erzielt er, wenn die Fixkosten

um 50% gesenkt werden und E(x) = 60x ist?      Lösung

 

179. Welche x-Koordinate muss ein Punkt P auf

 f(x) = (7/16)x² + 2 für 0 x 4 haben, wenn der

Flächeninhalt A des dargestellten Rechtecksmaximal sein soll?

 

 

180. Wie groß ist der Winkel α, wenn der Flächeninhalt A des

Dreiecks maximal sein soll?

 

    Lösung

 

181. Für welches u wird der Flächeninhalt des Fünfecks ABCDE maximal?

 

 

182. Welche y-Koordinate hat ein Punkt A auf f(x) = 1/x, der

vom Punkt P(0|0) den kleinsten Abstand d hat?

 

    Lösung

 

183. Welche x-Koordinate hat ein Punkt A auf f(x) = √x,

der vom Punkt P(a|0), a 0,5, den kleinsten Abstand d hat?

 

 

184. Wie groß ist die Breite b eines Balkens, der aus einem

Baumstamm mit dem Radius r = 50 cm geschnitten wird

und dessen Tragfähigkeit T = b * h² maximal sein soll?

 

   Lösung

 

185. Wie weit von C entfernt sollte auf dem Kanal ein Schiff die

Fracht übernehmen, die von A nach C transportiert werden soll,

wenn der Transport mit Lkw pro km 1,7 mal so teuer wie mit dem

Schiff ist und die Gesamtkosten K minimal sein sollen?

 

 

186. Wie groß muss der Winkel α an der Grundseite a der

Blechrinne in Form eines gleichschenkligen Trapezes sein,

wenn sie aus 3 gleich langen Stücken besteht

und die Querschnittsfläche A der Rinne maximal sein soll?

 

   Lösung

 

187. Welche Länge l darf die Stange höchstens haben, damit man

sie aus der bebauten Straße a in die bebaute Straße b transportieren

kann.

(Hinweis: Es wird so getan, als ob die Stange keine Dicke hätte.

Kein realistisches Modell.)

 

 

188. In welcher Entfernung d sieht ein Betrachter das Bild unter dem

größten Sehwinkel γ?

 

   Lösung

 

189. Die Schar der Geraden durch die Punkte P(-a,a) und Q(1-a,1-a)

hüllt eine Kurve ein.

Wie lautet deren Funktionsgleichung für 0 a 1?

 

 

 

190. Die Schar der Geraden durch die Punkte P(0,1-a) und Q(a,0)

hüllt eine Kurve ein.

Wie lautet deren Funktionsgleichung für a > 0?

 

    Lösung

 

191. Die Schar der Geraden durch die Punkte P(-a,0) und Q(a,2a²)

hüllt eine Kurve ein.

Wie lautet deren Funktionsgleichung für 0 a 1?

 

 

192. Die Schar der Geraden durch die Punkte P(a,1/a²) und Q(0,3/a²)

hüllt eine Kurve ein.

Wie lautet deren Funktionsgleichung für 0 a 1?

 

   Lösung

 

193. Die Schar der Geraden durch die Punkte P(1/a²,- 2/a)

und Q(1,a -3/a) hüllt eine Kurve ein.

Wie lautet deren Funktionsgleichung für 0 a 1?

 

 

194. Wie viele Fahrzeuge können pro Stunde mit einer

vorgeschriebenen Richtgeschwindigkeit in kürzester Zeit

einen Messpunkt durchfahren, wenn sie einen

Sicherheitsabstand von 0,5 * (v/100 )² in m einhalten und

die durchschnittliche Fahrzeuglänge 12 m beträgt?     Lösung

 

195. Von A fährt ein Radfahrer mit 10 km/h in Richtung

Kreuzung, von B gleichzeitig einer mit 12 km/h.

Wann ist der Abstand a zwischen den beiden am geringsten?

 

 

 

196. Wie groß ist der Mittelpunktswinkel α eines Kreisausschnitts

aus Blech mit dem Radius r = 20 cm, der zu einem offenen Kegel

mit maximalem Volumen V gebogen werden soll?

 

   Lösung

  

197. Der Sicherheitsabstand S zweier Autos beträgt für v in km/h

 

                                       v               

                    S(v) = ----- + ---- + 6 m

                               100    3,6                

 

Für eine Fahrzeugkolonne, die eine 1 000 m lange Messstrecke

in einer Stunde durchfährt, gilt die Verkehrsdichte D

 

                               1 000 v  

                    D(v) = ----------

                                  S(v)

 

Wie viele Fahrzeuge durchfahren diese Messstrecke in einer

Stunde, wenn die Verkehrsdichte maximal sein soll?

 

198. Wie weit von C entfernt sollte auf dem Kanal ein Schiff

die Fracht übernehmen, die von A nach C transportiert werden

soll, wenn der Transport mit einem Schiff 80% der Lkw-Kosten

beträgt und die Gesamtkosten K minimal sein sollen?

(Siehe Aufgabe 185)

 

    Lösung

 

199. Wie groß darf eine Strömungsgeschwindigkeit vS sein,

damit ein Boot mit der Eigengeschwindigkeit von 10 m/s 500 m

it und 180 m gegen die Strömung in kürzester Zeit t zurücklegt?

 

200. Wie groß ist der kürzeste Abstand d des Punktes P von

einem Punkt Q auf f(x)?

 

    Lösung

 

201. Wie groß ist der kürzeste Abstand d des Punktes P von

einem Punkt Q auf f(x)?

 

 

 

202. Wie groß ist der kürzeste Abstand d des Punktes P von

einem Punkt Q bzw. Q' auf f(x)?

 

    Lösung

 

203. Wie groß ist der kürzeste Abstand d zwischen f(x) und g(x)?

 

 

204. Für welche x-Koordinate von Q wird der Fächeninhalt A

des Dreiecks PQR am größten?   

 

   Lösung

 

205. Für welche x-Koordinate des Punktes B ist der

Flächeninhalt A des rechtwinkligen Dreiecks ABC

am größten?

 

 

206. Welche Höhe h hat das einbeschriebene Rechteck

mit maximalem Flächeninhalt A?

 

    Lösung

 

207. Für welche x-Koordinate des Punktes Q ist der

Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks PQR am

größten?

 

 

208. Wie groß ist die Seite BC des einbeschriebenen

Dreiecks, wenn der Flächeninhalt A maximal sein soll?

 

    Lösung

 

209. Für welche x-Koordinate des Punktes B ist der

Flächeninhalt A des rechtwinkligen Dreiecks ABC am

größten?

 

 

210. Ein Getränkehersteller bietet in diesen geschlossenen

zylindrischen Metalldosen Saft an.

Aus Hygienegründen wird die gesamte Innenfläche beschichtet.

Wie groß ist der Radius r der Dose, wenn die Innenfläche

minimal sein soll und in den zylindrischen Teil 0,55 l passen?

    Lösung

 

211. Wie groß ist die Höhe h der Dreiecke (blau), die aus dem

quadratischen Blech ausgeschnitten werden, wenn die danach

gebogene quadratische Pyramide (rot) maximales Volumen V

haben soll?

 

 

212. Ein Fußgänger befindet sich in Punkt A in unwegsamem

Gelände und will nach D, das an der ausgebauten Straße von B

aus liegt. Im Gelände schafft er 4 km/h, auf der Staße 6 km/h.

Wie weit von B entfernt sollte er C erreichen, damit er in kürzester

Zeit am Ziel ist?

    Lösung

 

213. Haus F soll von A aus an eine Versorgungsleitung

angeschlossen werden. Die Verlegung kostet auf der Straße

von A nach C 72 €/m, im Gelände 90 €/m.

Wie weit von A entfernt muss der Abzweig B liegen,

wenn die Kosten K minimal sein sollen?

 

 

214. Zwischen D und E verläuft eine Bahnstrecke. Die Orte

A und C sollen an diese Bahnlinie angebunden werden.

Wie weit von D entfernt soll der zukünftige Bahnhof B

liegen, wenn die Strecke ABC am kürzesten sein soll?

 

   Lösung

 

215. Wie weit ist der Punkt B von D entfernt, wenn bei

gegebener Geschwindigkeit v die Strecke von A nach C

in der kürzesten Zeit t zurückgelegt werden soll?

 

 

216. Ein Fußgänger geht von A aus mit einer Geschwindigkeit

von 0,2 m/s auf S zu, ein anderer von B aus mit 0,3 m/s.

Nach welcher Zeit t ist die Entfernung zwischen

den beiden am kleinsten?

 

   Lösung